高二數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(參考版)
2024-11-16 16:44本頁(yè)面
【正文】 21 ∴ k+1條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù) f(k+1)=f(k)+k= k(k1)+k = k(k1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)1] 即當(dāng) n=k+1時(shí)命題仍成立。(3)數(shù)學(xué)歸納法整除性問(wèn)題： 例 平面內(nèi)有 n (n?2)條直線，任何兩條都不平行，任何三條不過(guò)同一點(diǎn)，問(wèn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 為多少 ?并證明 . )(nf2)1()( ?? nnnf當(dāng) n=k+1時(shí)：第 k+1條直線分別與前 k條直線各交于 一點(diǎn)，共增加 k個(gè)點(diǎn)， 由 1）、 2）可知，對(duì)一切 n∈N ? n?2原命題均成立。 2k － 2－ 2 ＝ 2 第一節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（三） 第二章 極限 1 2 C 2 ． 在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證 ( ) ( A ) n ＝ 1 時(shí)成立 ( B)n ＝ 2 時(shí)成立 ( C ) n ＝ 3 時(shí)成立 ( D ) n ＝ 4 時(shí)成立 C 1 3 3 ． 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1 ＋ 12 ＋ 13 ＋ … ＋ 12n－ 1 ＜ n ( n ∈ N*，且 n ＞ 1) ，第一步要證的不等式是 _ ___ _ ___ ___ _ ． 答案： 1 ＋ 12 ＋ 13 ＜ 2 5 例題 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問(wèn)題 【例 3 】 在數(shù)列 {a n } 中，已知 a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 3 ， a n ＝ 3a n － 1 － 2a n － 2 (n ≥ 3) ． ( 1) 求 a 3 ， a 4 ， a 5 ； ( 2) 猜想 {a n } 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論． 思路點(diǎn)撥： 由數(shù)列的前兩項(xiàng)和遞推公式分別求 a 3 ， a 4 ， a 5 → 歸納猜想 a n → 用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想． 解： ( 1) ∵ a 1 ＝ 2 ， a 2 ＝ 3 ， a n ＝ 3a n － 1 － 2a n － 2 (n ≥ 3) ， ∴ a 3 ＝ 3 3 － 2 2 ＝ 5 ， a 4 ＝ 3 5 － 2 3 ＝ 9 ， a 5 ＝ 3 9 － 2 5 ＝ 17. ( 2) ∵ a1＝ 2 ＝ 20＋ 1 ， a2＝ 3 ＝ 21＋ 1 ， a3＝ 5 ＝ 22＋ 1 ， a4＝ 9 ＝ 23＋ 1 ， a5＝ 17 ＝ 24＋ 1 ， ∴ 猜想 an＝ 2n － 1＋ 1. 證明： ① 當(dāng) n ＝ 1 ， n ＝ 2 時(shí)，結(jié)論顯然成立． ② 假設(shè)當(dāng) n ＝ k － 1 ， n ＝ k ( k ≥ 2) 時(shí)，結(jié)論成立，即 ak － 1＝ 2k － 2＋ 1 ， ak＝ 2k － 1＋ 1 ， 則當(dāng) n ＝ k
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