證明題的方法(參考版)
2024-08-16 16:44本頁面
【正文】 6。 6．恒等式1=A/A “加一個同時以減一個相同的數(shù)或式”的恒等變形的技巧，不僅在初等數(shù)學(xué)中、在簡單問題中經(jīng)常運用，在學(xué)習(xí)比較復(fù)雜的證明中，也是經(jīng)常被運用的。（微積分中的有理分式化為部分分式的方法，就是在分式范圍內(nèi)研究“和的形式”與“積的形式”如何相互轉(zhuǎn)化。（“積化和差”在積分運算中經(jīng)常用到）其實對于“和”與“積”或“加法”與“乘法”之間的恒等變形的思想，不僅在三角函數(shù)上研究過，在其它數(shù)學(xué)內(nèi)容里也學(xué)習(xí)過。4．和差化積與積化和差它不僅在根式計算題中有用，在證明題中也時常用到，不過有時不是將分母有理化而是將分子有理化。分母有理化與分子有理化配方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用很多，僅在中學(xué)階段就先后三次集中利用它來解決一些理論問題和實際問題。這種“恒等變形”在初中學(xué)習(xí)整式時開始遇到，從此以后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中就經(jīng)常在起作用，直到學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”之后，又將幾個常用的公式推廣到更一般的情況。 在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的“恒等變形”，內(nèi)容很多，下面列出六種是最重要的地做數(shù)學(xué)證明題時經(jīng)常運用這些恒等變形的技巧，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)“微積分”內(nèi)容時，也是不可缺少的。在學(xué)習(xí)中我們不僅要熟練地記憶一些重要的恒等變形公式，而且要善于運用它們。 一些恒等變形技巧同一事物往往可以表示為不同的幾種形式，而每一種形式往往能夠比較準(zhǔn)確、比較明顯地反映該事物的某種特殊性質(zhì)。如：中心對稱、軸對稱、垂直、平行、頂點、端點等等。 在解析幾何中，運用坐標(biāo)方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。 求證有關(guān)線段的平方的幾何問題可以考慮用余弦定理來解決。 求證有關(guān)線段的比、線段的積的幾何問題，可以考慮用正弦定理來解決。通常是先以最少量的字母來表示未知的幾何量，從而將幾何圖形數(shù)量化，然后進(jìn)行計算型的證明推理。 計算證明法在許多重要的數(shù)學(xué)定理的分析、證明過程中，往往要作一個輔助函數(shù)，這個輔助函數(shù)作好了定理就能順利證出，我們要研究這種輔助函數(shù)是怎樣想出來的?！皳Q元”通?？梢允乖羞\算關(guān)系大大簡化，邏輯層次脈絡(luò)分明，有利于問題的解決。設(shè)輔助未知數(shù)法（換元法或變量替換法） 這樣一來，問題的關(guān)鍵就在于：引進(jìn)某一個或某幾個起連接作用的輔助元素，怎樣尋找這種輔助元素，沒有一成不變的辦法，只有靠具體問題具體分析，與多多積累解題經(jīng)驗。不等式的證明中的兩頭擠分析法，特別要注意保持不等號方向的不變。 兩頭擠法分
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