kfraaa20xx年“數(shù)學(xué)周報杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案(參考版)
2024-08-15 09:40本頁面
【正文】 . ……（15分）14（甲）．解：由于都是正整數(shù)，且，所以≥1，≥2，…，≥2012．于是 ≤．…………（5分）當(dāng)時，令，則 .…………（10分） 當(dāng)時，其中≤≤，令 ，則 ．綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． …………（15分）14（乙）.解：當(dāng)時，把分成如下兩個數(shù)組：和． 在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得．在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． 所以，． 下面證明當(dāng)時，滿足題設(shè)條件．不妨設(shè)2在第一組，若也在第一組，則結(jié)論已經(jīng)成立．故不妨設(shè)在第二組． 同理可設(shè)在第一組，在第二組． 此時考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時；如果8在第二組，我們?nèi)。藭r．綜上，滿足題設(shè)條件．所以，的最小值為．（注：也可以通過考慮2，4，16，256，65536的分組情況得到n最小值為65536．）2012周報杯—8。；當(dāng)時，凸n邊形最多有12個內(nèi)角等于150176。所以，只有當(dāng)時，k才有最大值12. …………（5分）下面我們討論時的情況： （1）當(dāng)時，顯然，k的值是11； （2）當(dāng)時，k的值分別為1，2，3，4，5；（3）當(dāng)時，k的值分別為7，8，9，10. …………（10分）綜上所述，當(dāng)時，凸n邊形最多有個內(nèi)角等于150176。內(nèi)角的外角都等于30176。……（15分）13（乙）.解：設(shè)凸n邊形最多有k個內(nèi)角等于150176。13（甲）．解：設(shè)a－b = m（m是素數(shù)），ab = n2（n是自然數(shù)）. 因?yàn)? (a+b)2－4ab = (a－b)2，所以 (2a－m)2－4n2 = m2， (2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2. …………（5分）（1）當(dāng)時，因?yàn)?a－m+2n與2a－m－2n都是正整數(shù)，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m為素數(shù))，所以 2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.解得 a，. 于是 = a－m. …………（10分）又a≥2012，即≥2012.又因?yàn)閙是素數(shù)，解得m≥89. 此時，a≥=2025.當(dāng)時，.此時，a的最小值為2025. （2）當(dāng)時，因?yàn)?012，所以，從而得a的最小值為2017（素數(shù)）。四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，所以∠BCF =∠BAD,所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此 .因?yàn)镺D是⊙O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，OD∥BC， 于是 . 因此.由△∽△，知．因?yàn)?，所?，BA=AD ，故.10（乙）.12解：依題意得 由于是偶數(shù)，a+b、ab同奇偶，所以n是4的倍數(shù)，即，當(dāng)1≤≤100時，4的倍數(shù)共有25個，但要滿足題中條件的唯一正整數(shù)對，則：，其中p是素數(shù)，因此，k只能取下列12個數(shù)：1111225，從而這樣的n有12個。
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