全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題正題及答案(參考版)
2025-01-17 00:45本頁(yè)面
【正文】 下載： 所以，的最小值為．此時(shí)考慮數(shù)8．如果8在第一組，我們?nèi)?，此時(shí)；如果8在第二組，我們?nèi)?，此時(shí)． …………（10分）所以，≥． 在數(shù)組中，由于，所以其中不存在數(shù)，使得． ． …………（20分）綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為． 當(dāng)時(shí)，其中≤≤，令 .…………（15分） ≤．…………（10分）≥1，≥2，…，≥2012． …………（20分）當(dāng)≤≤時(shí)，的最大值為；當(dāng)3≤≤7時(shí)，的最大值為．（4）若，且3≤≤7，由（3）可知≤．當(dāng)時(shí)，存在凸邊形，其中個(gè)內(nèi)角等于，另兩個(gè)內(nèi)角都等于． 由≤可得；由≥8可得，且．（3）若，且≤≤． （2）若，且≥13，由，可得，即≤11． （1）若，由，得，正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于； …………（20分）當(dāng)時(shí)，.又a≥2012，即≥2012. a，. 解得…………（5分） 所以因?yàn)锳B+AD－BD = 2AE = BD.所以BF = AE.因?yàn)椤螩BF =∠IAE，BC = CI = AI，所以（2） 如圖，過(guò)點(diǎn)I作IE⊥AD于點(diǎn)E，設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F. 故OI是△IBD外接圓的切線.連接OA，OC，因?yàn)镮是AC的中點(diǎn)，且OA = OC， CI = CB.同理，（第12（乙）題） 12（乙）．證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知△BOC∽△． …………（15分）設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則．又因?yàn)?，所?…………（20分）故經(jīng)過(guò)B，C，E三點(diǎn)的拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為因此CD，AO分別為AB，BC的兩條中線，點(diǎn)E為△ABC的重心，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為.因此D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn) D的坐標(biāo)為（3，－4）.解得n=－4. ，所以于是A（0，－8），B（6，0），C（－6，0）.（第11（乙）題）由勾股定理，得 BO=.11（乙）．解：因?yàn)閟in∠ABC=，所以因此．，． …………（10分）≤， ≤， …………（5分）即，所以．11（甲）．解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以因?yàn)橛形ㄒ徽麛?shù)對(duì)，所以m的可能值為2，3，4，5，7，9，11，13，17，19，23，25，共有12個(gè)．（Ⅱ）若至少有兩個(gè)不同的素因數(shù)，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足；若恰是一個(gè)素?cái)?shù)的冪，且這個(gè)冪指數(shù)不小于3，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對(duì)滿足．解：由已知有，且為偶數(shù)，所以同為偶數(shù)，于是是4的倍數(shù)．設(shè)，則1≤≤25．.由△∽△，知．因?yàn)椋谑?. 因此所以 Rt△BCF∽R(shí)t△BAD ，因此 .的內(nèi)接四邊形，所以依題設(shè)∠BFC = 90176。由AB是⊙O的直徑知∠BCA =∠BDA = 90176。10（甲）．由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，得. . ，所以 解：由題設(shè)得9（乙）． ≤1當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).87≤≤130， 又 ，所以. 于是
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