163-點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系(參考版)
2025-08-07 07:02本頁面
【正文】 的直線被圓所截得的弦長為 .解: 即,則圓心,所求弦長為.例6. 求過直線2x+y+4=0與圓的交點，且過原點的圓的方程.分析:可用待定系數(shù)法，由兩交點坐標和過原點的條件，求出待定系數(shù)，也可用圓系方程求經過兩圓交點的圓的方程.解:方法一:由,所以交點坐標為 設所求圓的方程為,由題意得方法二：設所求圓的方程為即∵此圓過原點，∴∴所求圓的方程為例7. 求過直線2x+y+4=0和圓的交點且面積最小的圓的方程.解:求圓的方程為即①方法一:當半徑最小時,圓面積也最小,對①左邊配,得所以當時,此圓面積最小,故滿足條件的圓的方程為方法二：當圓心在直線2x+y+4=0上時，,代入直線方程，得,解得，所以當時，此圓面積最小.故滿足條件圓的方程為.例8. 求與直線和曲線都相切的、半徑最小的圓的標準方程.解:如圖所示，∵圓,半徑.由圖可知，當圓心B在過點A與直線垂直的直線上時，圓的半徑最小.∵點A到的距離為∴所求圓B的直徑,即.又,且OA與軸正半軸成角45176。(2) 求過點的圓C的弦的中點的軌跡方程.分析:（1）可以用代數(shù)法——將直線的斜率k設出（優(yōu)先考慮斜率不存在的情況），寫出直線方程，并將其代入圓C的方程，然后運用弦長公式來解決；也可以用幾何法——設出直線方程：,首先注意斜率不存在情況，運用圓心到直線的距離，圓半徑和一半弦長構成直角三角形來解決.（2）中點弦問題，可以考慮“代點作差法”，也可以利用“垂直于弦的直徑平分弦”這一幾何特征來求解.解:
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