84----直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(參考版)
2024-08-16 18:55本頁面
【正文】 皖南八校聯(lián)考 )已知點(diǎn) P(1，－ 2)，以 Q為圓心 的圓 Q： (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 9，以 PQ為直徑作圓與圓Q交于 A、 B兩點(diǎn)，連接 PA， PB，則 ∠ APB的余弦值為 ________． 解析： 由題意可知 QA ⊥ PA ， QB ⊥ PB ，故 PA ， PB 是圓 Q 的兩 條切線，由以上知 ∠ APB ＝ 2 ∠ APQ ， 在直角三角形 APQ 中： PQ ＝ ? 4 － 1 ?2＋ 42＝ 5. AQ ＝ 3. ∴ AP ＝ 4. ∴ cos ∠ APB ＝ 2cos2∠ APQ － 1 ＝ 2 (45)2－ 1 ＝725. 答案：725 [沖關(guān)錦囊 ] 判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法．若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去 x y2項(xiàng)得到． 易錯矯正 忽視直線斜率不存在的情況而致誤 [考題范例 ] (2022 全國高考 ) 設(shè)兩圓 C 1 、 C 2 都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn) (4,1) ，則兩圓心的距離 | C 1 C 2 |＝ ( ) A ． 4 B ． 4 2 C ． 8 D ． 8 2 [答案 ] C [ 自主解答 ] 依題意，可設(shè)圓心坐標(biāo)為 ( a ， a ) 、半徑為 r ，其中 r ＝ a 0 ，因此圓方程是 ( x － a )2＋ ( y － a )2＝ a2，由圓過點(diǎn) (4,1) 得 (4 － a )2＋ (1 － a )2＝ a2，即 a2－ 10 a ＋ 17 ＝ 0 ，則該方程的兩根分別是圓心 C1， C2的橫坐標(biāo)， | C1C2|＝ 2 102－ 4 17 ＝ 8. [巧練模擬 ]—————(課堂突破保分題，分分必保！ ) 5． (2022新課標(biāo)全國高考 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線 y＝ x2－ 6x＋ 1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓 C上． (1)求圓 C的方程； (2)若圓 C與直線 x－ y＋ a＝ 0交于 A， B兩點(diǎn)，且 OA⊥ OB，求 a的值． [ 自主解答 ] (1) 曲線 y ＝ x2－ 6 x ＋ 1 與 y 軸的交點(diǎn)為 (0,1) ，與 x 軸的 交點(diǎn)為 (3 ＋ 2 2 ， 0) ， (3 － 2 2 ， 0) ． 故可設(shè)圓 C 的圓心為 (3 ， t ) ，則有 32＋ ( t － 1)2＝ (2 2 )2＋ t2，解得 t ＝ 1. 則圓 C 的半徑為 32＋ ? t － 1 ?2＝ 3. 所以圓 C 的方程為 ( x － 3)2＋ ( y － 1)2＝ 9. (2) 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，其坐標(biāo)滿足方程組： ????? x － y ＋ a ＝ 0 ，? x － 3 ?2＋ ? y － 1 ?2＝ 9.消去 y ，得到方程 2 x2＋ (2 a － 8) x ＋ a2－ 2 a ＋ 1 ＝ 0. 由已知可得，判別式 Δ ＝ 56 － 16 a － 4 a20.
外語相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1