【微積分】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(參考版)
2025-04-26 04:37本頁(yè)面
【正文】 s in)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??(待定系數(shù)法 ) 只含上式一項(xiàng)解法 ： 作輔助方程 ,求特解 , 取特解的實(shí)部或虛部 , 得原非齊方程特解 . 補(bǔ)充題 : 1. 寫(xiě)出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????的待定特解的形式 . 解 : 設(shè) 的特解為 2644 xyyy ?????? *1yxeyyy 2844 ??????設(shè) 的特解為 *2y*2y?*1* yy ?則所求特解為 0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根） *2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2 .22 xeDx?2. 解 : (1) 特征方程 有二重根 所以設(shè)非齊次方程特解為 (2) 特征方程 有根 xxyy x si n3e)2( )4( ??????利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為 )si nc o s( xkxdx ??寫(xiě)出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式 : 3. 求微分方程 xyyy ?e44 ?????? 的通解 (其中 ?為實(shí)數(shù) ) . 解 : 特征方程 ,0442 ??? rr 特征根 : 221 ??? rr對(duì)應(yīng)齊次方程通解 : 2??? 時(shí) , ,e xAy ???令 代入原方程得 ,2)2( 1?? ?A故原方程通解為 2??? 時(shí) , ,e2 xxBy ???令 代入原方程得 ,21?B故原方程通解為 4. 已知二階常微分方程 xcybyay e?????? 有特解 2( 1 e ) ,e xxyx??? 求微分方程的通解 . 解 : 將特解代入方程得恒等式 xxxx cxbaaba ee)1(e)2(e)1( ???????? ?比較系數(shù)得 01 ??? ba ca ??201 ??? ba0a 1??b2?c故原方程為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 : xx CCY ??? ee 21xx xy ee ?? ?原方程通解為 xx CCy ??? ee 21xxe?5. 有特解 而對(duì)應(yīng)齊次方程有解 微分方程的通解 . 解 : ,0)(2 ?????? yxyxy ?代入將代入再將 xy 1? )(1 xfyxy ?????故所給二階非齊次方程為 331xyxy ?????方程化為 設(shè)二階非齊次方程 一階線性非齊次方程 故 ??xx d1exCx 121 ????再積分得通解 2211 CxCxy ??? )( 1211 CC ??? ?1d13 de3 Cxxxx?????的解 . 6. 設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù) , (1) 試將 x＝ x( y) 所滿足的微分方程 變換為 y＝ y(x) 所滿足的微分方程 。2s in81*2 xxy ??小結(jié) 可以是復(fù)數(shù)）?? (),()()1( xPexf mx?)。)( xfyqypy ?????? ),( 為常數(shù)
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