[理學(xué)]167442二階常系數(shù)線性微分方程(參考版)
2025-01-22 14:43本頁面
【正文】 。 31 )( CxxC ??? ， 42 ln)( CxxC ?? ， 并令 043 ?? CC ， 作 業(yè) 習(xí) 題 六 （ P241） 7（ 1）（ 4） (6）； 8（ 2）（ 4）（ 6）（ 8）； 9（ 2）（ 6） ； 10（ 2） 。 則有??????????????.)1)(()( ,0)()(2121xeexxCexCxexCexCxxxxx 1)1()1(0)(221 ????????xxxxxxxxxeeexexeeexxexexC ， xexeexexeexeeexCxxxxxxxxx1)1(0)(222????? 。 解：特征方程為 0122 ??? rr ， 121 ?? rr ， 對應(yīng)的齊次方程的通解為 xexCCY )( 21 ?? 。 設(shè)非 齊次方程為 )( xfcyybya ?????? ① 齊次方程為 0?????? cyybya ② )( ),( 21 xyxy 為方程 ② 的兩個(gè)線性無關(guān)的解， 則方程 ② 的通解為 )()( 2211 xyCxyCy ?? ， 將任意常數(shù) 21 , CC 換成待定函數(shù) )( ),( 21 xCxC ， 使 對③式求導(dǎo)，得 )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????)()()()( 2211 xyxCxyxCy ??? ③ （五） 常數(shù)變易法 )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????0)()()()( 2211 ???? xyxCxyxC ， ④ 從而 )()()()( 2211 xyxCxyxCy ?????? ， )()()()()()()()( 22112211 xyxCxyxCxyxCxyxCy ??????????????為了使 的表達(dá)式??y 中不出現(xiàn) )( )( 21 xCxC 和 的二階導(dǎo)數(shù)， 可設(shè) 將 ?? ??? yyy , , 代入 方程 )( xfcyybya ?????? ，得 )]()()()[()]()()()([ 11112211 xcyxybxyaxCxyxCxyxCa ???????????)()]()()()[( 2222 xfxcyxybxyaxC ??????? ∴ 0)()()( 111 ?????? xcyxybxya ， 0)()()( 222 ?????? xcyxybxya ， ∴ )(1)()()()( 2211 xfaxyxCxyxC ?????? ， ⑤ ∵ )( ),( 21 xyxy 為齊次方程 0?????? cyybya 的解， 把 ④式和 ⑤式聯(lián)立得方程組 ???????????????).(1)()()()( ,0)()()()(22112211xfaxyxCxyxCxyxCxyxC ∵ )( ),( 21 xyxy 線性無關(guān)， ∴ 0)()()()()(2121 ????xyxyxyxyxW ， ∴)()()()()()(1)()()()()()(1)(0)(212122121221xyxyxyxyxyxfaxyxyxyxyxyxfaxyxC?????????? ， ,)()()()()()(1)()()()()(1)
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