第一章矩陣代數(shù)(參考版)
2025-07-23 14:14本頁面
【正文】 ? (2)推廣的柯西 許瓦茲不等式 設(shè) B0，則 (x′y)2≤(x′Bx)(y′B?1y) 等號成立當(dāng)且僅當(dāng) x=cB?1y（或 y=cBx），這里 c為一常數(shù)。 34 ?167。 ? (7)若 A0(或 ≥0)，則存在 A1/2 0 (或 ≥0)，使得 A=A1/2A1/2， A1/2稱為 A的 平方根矩陣 。 ? (5)若 A0(或 ≥0)，則 |A|0(或 ≥0)。 ? (3)若 A0，則 A?10。 33 基本性質(zhì) ? (1)設(shè) A′=A，則 A0(或 ≥0) λi 0(或 ≥0)， i=1,2,?,p。若對一切 x≠0，有 x′Ax0，則稱 A為 正定矩陣 ，記作 A0；若對一切 x，有 x′Ax≥0，則稱 A為非負(fù)定矩陣 ，記作 A≥0。 ? (7)若 A為投影矩陣，則 tr(A)=rank(A) ? ? ? ? 211t r t rpqijija?????? ??A A A A32 167。 ? (4) 。 ? (2)tr(A)=tr(A′)。 ? AA′=UΛ2U′， A′A=VΛ2V′ AA′U=UΛ2， A′AV=VΛ2 AA′ui=λi2ui， i=1,2,?,k A′Avi=λi2vi， i=1,2,?,k 1ki i ii?????? ?AU Λ V u v30 二、矩陣的跡 ?設(shè) A為 p階方陣，則 A的 跡 定義為 tr(A)=a11+a22+?+app ?方陣的跡具有下述 基本性質(zhì) ： ? (1)tr(AB)=tr(BA)。 28 譜分解 ? ?11221210= , , ,0pp i i iipp??????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??ttAT Λ T t t t t tt29 奇異值分解 ? (7)設(shè) A： p q， rank(A)=k，則存在 U=(u1,u2,?,uk)： p k，V=(v1,v2,?,vk)： q k， Λ=diag(λ1,λ2,?,λk)，使得 其中， u1,u2,?,uk是一組 p維正交單位向量， v1,v2,?,vk是一組 q維正交單位向量， λi0, i=1,2,?,k。 ? 例 設(shè)方陣 A： p p的 p個特征值為 λ1,λ2,?,λp，試證 ： (i)若 A可逆，相應(yīng)于 λ1,λ2,?,λp的特征向量分別為 x1,x2,?,xp，則 A?1的 p個特征值為 ，相應(yīng)的特征向量仍為 x1,x2,?,xp； (ii)若 A為冪等矩陣，則 A的特征值為 0或 1； (iii)若 A為正交矩陣，則 A的特征值為 1或 ?1。 ? (5) ，即 A的行列式等于其特征值的乘積。若 λi≠λj，則相應(yīng)的特征向量 xi和xj必正交，即 xi′xj=0。 ? 解 由于 因此 ， ab′有一個非零特征值 ?15，而另兩個特征值為零。 ? 例 設(shè) A和 B為兩個 p p矩陣，則 AB和 BA有完全相同的特征值。 ? (2)若 A和 B分別是 p q和 q p矩陣，則 AB和 BA有相同的非零特征值。反過來，若λi是 上 式的一個根，則存在 xi≠0，使得 (A?λiI)xi=0 ? 今后，一般 情況下 取 xi為單位向量，即滿足 ||xi||=1。 ? (A?λI)x=0， x≠0，故 |A?λI|=0 |A?λI|是 λ的 p次多項式，稱為 特征多項式 。 ? ? ? ?r a n k r a n k = r a n k r a n k? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?AA ABBB000022 167。 ? (6)若 A和 C為非退化方陣，則 rank(ABC)=rank(B) ? (7)p階方陣 A是非退化的，當(dāng)且僅當(dāng) rank(A)=p(稱作 A滿秩 )。 ? (4) 。 ? (2)若 A為 p q矩陣 , 且 A≠0，則 1≤rank(A)≤min{p,q}(若 rank(A) =p,則稱 A為 行滿秩 的；若 rank(A)=q,則稱 A為 列滿秩 的 )。矩陣的行秩和列秩必相等，故統(tǒng)一將
化學(xué)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1