文科立體幾何線面角二面角專題-帶答案(參考版)
2025-06-28 16:28本頁(yè)面
【正文】 ∴AC⊥DC.又AC⊥EC，DC∩EC=C，∴AC⊥平面CDE，∵ED?平面CDE，∴DE⊥AC.又DE⊥AD，AD∩DE=D，∴DE⊥平面ABCD.∵DE?平面ADEF，∴平面ABCD⊥平面ADEF.（2）解：由（1）知平面ABCD⊥平面ADEF，作BH⊥AD，∴BH⊥平面ADEF，BH=3， 連接AE，VEABF=VBAEF=13?SΔAEF?BH =1312243=433.點(diǎn)睛：本題綜合考查了線面垂直、面面垂直的判定，等體積法在立體幾何中的應(yīng)用等，關(guān)鍵注意書(shū)寫的格式和步驟，屬于中檔題。（2）根據(jù)等體積法，變換頂點(diǎn)即可求得體積?！郆C⊥BD.∵ED⊥AD，ED⊥DC,AD∩DC=D，∴ED⊥平面ABCD,又BC?平面ABCD，∴ED⊥BC，又BD∩ED=D，∴BC⊥平面EBD，又BC?平面EBC，∴平面EBC⊥平面EBD．（2）由（1）可得DA，DC，DE兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DE所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0,0,0),E(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0).令M(0,y0,z0)，則EM=(0,y0,z01)，EC=(0,2,1)∵3EM=EC，∴(0,3y0,3z03a)=(0,2,1)∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,23,23).∵BC⊥平面EBD，∴BC=(1,1,0)是平面EBD的一個(gè)法向量.設(shè)平面MBD的法向量為m=(x,y,z).則m?DB=0m?DM=0，即x+y=023y+23z=0，可得x=y=z.令y=1，得m=(1,1,1)．∴cosm,BC=m?BCmBC=223=63．由圖形知二面角MBDE為銳角，∴二面角MBDE的平面角的余弦值為63．點(diǎn)睛：利用空間向量求二面角的注意點(diǎn)（1）建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要注意證明得到兩兩垂直的三條直線．然后確定出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上求得平面的法向量．（2）求得兩法向量的夾角的余弦值后，還要結(jié)合圖形確定二面角是銳角還是鈍角，然后才能得到所求二面角的余弦值．這一點(diǎn)在解題時(shí)容易忽視，解題時(shí)要注意．10．（1）見(jiàn)解析（2）433【解析】分析：（1）通過(guò)取AD中點(diǎn)M，連接CM，利用CM=12AD得到直角；再利用AC⊥EC可得AC⊥平面CDE；再根據(jù)線面垂直判定定理即可證明。BC=2，∴∠BDC=45176。=3，所以AC=3．又AB=BC=3，所以ΔABC是等邊三角形，所以BM=32，所以BMMD=3，又因?yàn)镻N=14PB，所以BMMD=BNNP=3，所以MN//PD．又MN?平面PDC,PD?平面PDC，所以MN//平面PDC．（2）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥PA，又BD⊥AC,PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．由（1）知MN//PD，所以直線MN與平面PAC所成角即直線PD與平面PAC所成角，故∠DPM即為所求的角．在RtΔPAD中，PD=2，所以sin∠DPM=DMDP=122=14，所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為14．點(diǎn)睛：（1）證明空間中的位置關(guān)系時(shí)要注意解題的規(guī)范性和嚴(yán)密性，運(yùn)用定理證明時(shí)要體現(xiàn)出定理中的關(guān)鍵性詞語(yǔ)．（2）用幾何法求空間角時(shí)可分為三步，即“一找、二證、三計(jì)算”，即首先根據(jù)所求角的定義作出所求的角，并給出證明，最后利用解三角形的方法得到所求的角（或其三角函數(shù)值）．9．(1)見(jiàn)解析；（2）cosm,n=m?nmn=22?3=63.【解析】分析：（1）由勾股定理的逆定理可得AD⊥DC，ED⊥DC；又由條件可得到ED⊥AD，于是ED⊥平面ABCD，可得ED⊥BC，從而得到BC⊥平面EBD，根據(jù)面面垂直的判定定理得平面EBC⊥平面EBD．（2）由題意得可得DA，DC，DE兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,23,23)，于是可求得平面MBD的法向量為m=(1,1,1)，又BC=(1,1,0)是平面EBD的一個(gè)法向量，求得cosm,BC=63后結(jié)合圖形可得所求余弦值為63．詳解：（1）由AD=1，CD=2，AC=5，得AD2+CD2=AC2，∴ΔADC為直角三角形，且AD⊥DC同理ΔEDC為直角三角形，且ED⊥DC．又四邊形ADEF是正方形，∴AD⊥DE．又AB//DC∴DA⊥AB.在梯形ABCD中，過(guò)點(diǎn)作B作BH⊥CD于H，故四邊形ABHD是正方形，∴∠ADB=45176。的等腰三角形.CD=CB=1, 則CG=12.過(guò)點(diǎn)C做CH//DA，交DB、AB于點(diǎn)G，H，則CG⊥BD
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