幾何體與球的體積表面積(含答案)(參考版)
2025-06-27 15:20本頁面
【正文】 ．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r==1，∴球O的半徑R==2，∴球O的表面積S=4πR2=16π．故選C．．【點評】本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題時要關(guān)鍵． 20．（2003?天津）棱長都為的四面體的四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ?。〢．3π B．4π C．3 D．6π【分析】本題考查的知識點是球的體積和表面積公式，由棱長都為的四面體的四個頂點在同一球面上，可求出內(nèi)接該四面體的正方體棱長為1，又因為正方體的對角線即為球的直徑，即球的半徑R=，代入球的表面積公式，S球=4πR2，即可得到答案．【解答】解：借助立體幾何的兩個熟知的結(jié)論：（1）一個正方體可以內(nèi)接一個正四面體；（2）若正方體的頂點都在一個球面上，則正方體的體對角線就是球的直徑．則球的半徑R=，∴球的表面積為3π，故答案選A．【點評】棱長為a的正方體，內(nèi)接正四面體的棱長為a，外接球直徑等于長方體的對角線長a． 二．填空題（共5小題）21．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）已知正四棱錐O﹣ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為 24π ．【分析】先直接利用錐體的體積公式即可求得正四棱錐O﹣ABCD的高，再利用直角三角形求出正四棱錐O﹣ABCD的側(cè)棱長OA，最后根據(jù)球的表面積公式計算即得．【解答】解：如圖，正四棱錐O﹣ABCD的體積V=sh=（）OH=，∴OH=，在直角三角形OAH中，OA===所以表面積為4πr2=24π；故答案為：24π．【點評】本題考查錐體的體積、球的表面積計算，考查學(xué)生的運算能力，屬基礎(chǔ)題． 22．（2013?新課標(biāo)Ⅰ）已知H是球O的直徑AB上一點，AH：HB=1：2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為 ?。痉治觥勘绢}考查的知識點是球的表面積公式，設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意知由與球心距離為R的平面截球所得的截面圓的面積是π，我們易求出截面圓的半徑為1，根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出該球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，∵AH：HB=1：2，∴平面α與球心的距離為R，∵α截球O所得截面的面積為π，∴d=R時，r=1，故由R2=r2+d2得R2=12+（R）2，∴R2=∴球的表面積S=4πR2=．故答案為：．【點評】若球的截面圓半徑為r，球心距為d，球半徑為R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，即R2=r2+d2 23．（2008?浙江）如圖，已知球O的面上四點A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=，則球O的體積等于 π?。痉治觥空f明△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，球的直徑就是CD，求出CD，即可求出球的體積．【解答】解：AB⊥BC，△ABC的外接圓的直徑為AC，AC=，由DA⊥面ABC得DA⊥AC，DA⊥BC，△CDB是直角三角形，△ACD是直角三角形，∴CD為球的直徑，CD==3，∴球的半徑R=，∴V球=πR3=π．故答案為：π．【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體，說明三角形是直角三角形，推出CD是球的直徑，是本題的突破口，解題的重點所在，考查分析問題解決問題的能力． 24．（2004?重慶）正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點S、A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的體積為 ?。痉治觥肯却_定球心位置，再求球的半徑，然后可求球的體積．【解答】解：正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為，點S、A、B、C、D都在同一個球面上，則該球的球心恰好是底面ABCD的中心，球的半徑是1，體積為．故答案為：【點評】本題考查球的內(nèi)接體和球的體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題． 25．（2009?全國卷Ⅱ）設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45176。．故△ABC截球O所得的圓O′的半徑r==1，由此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．【解答】解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60176。SA⊥面ABC，則球O的表面積為（ ）A．4π B．12π C．16π D．64π【分析】由三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60176。AA1=2，且三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（ ?。〢．4π B．8π C．12π D．16π【分析】根據(jù)題意，可將棱柱ABC﹣A1B1C1補成長方體，長方體的對角線即為球的直徑，從而可求球的表面積．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=90176。AB=AC=2，得到BC，即為A、B、C三點所在圓的直徑，取BC的中點M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OMB中，OM=1，MB=，則OA可求．【解答】解：如圖所示：取BC的中點M，則球面上A、B、C三點所在的圓即為⊙M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OM
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