16782空間幾何體的表面積與體積(參考版)
2025-07-26 02:49本頁(yè)面
【正文】 SH ＝139 3 3 ＝ 9. 探究提高 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧透?，然后?yīng)用公式 V ＝13Sh 進(jìn)行計(jì)算即可 . 常用方法：割補(bǔ)法和等積變換法 . (1) 割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱體的體積，從而得出幾何體的體積 . (2) 等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面 . ① 求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來(lái)計(jì)算； ② 利用 “ 等積性 ” 可求 “ 點(diǎn)到面的距離 ”. 變式訓(xùn)練 3 如圖，正方體 ABCD － A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 2 ，動(dòng)點(diǎn) E ， F 在棱 A1B1上，點(diǎn) Q 是棱 CD 的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 在棱 AD 上 . 若 EF ＝ 1 ， DP ＝ x ， A1E ＝y(tǒng) ( x ， y 大于零 ) ，則三棱錐 P － EFQ 的體積 ( ) A. 與 x ， y 都有關(guān) B. 與 x ， y 都無(wú)關(guān) C. 與 x 有關(guān)，與 y 無(wú)關(guān) D. 與 y 有關(guān)，與 x 無(wú)關(guān) 解析 三棱錐 P － EFQ 的體積可以看作是以△ PEF 為底面，而 △ PEF 的底 EF ＝ 1 ，高 A 1 P ＝4 ＋ ( 2 － x )2，與 x 有關(guān) . 三棱錐 P － E FQ 的高為點(diǎn)Q 到平面 PE F 的距離 . ∵ CD ∥ EF ， ∴ CD ∥ 平面 PEF . ∴ 點(diǎn) Q 到平面 PEF的距離等于點(diǎn) D 到平面 PEF 的距離，與 y 無(wú)關(guān) . C 思想與方法 1 1. 空間與平面的轉(zhuǎn)化 試題： (1 4 分 ) 長(zhǎng)方體 ABCD — A1B1C1D1中，寬、長(zhǎng)、高分別為 3 、 4 、 5 ，現(xiàn)有一個(gè)小蟲(chóng)從 A出發(fā)沿長(zhǎng)方體表面爬行到 C1來(lái)獲取食物，求其路程的最小值 . 審題視角 ( 1) 可將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線(xiàn)段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答 .( 2 ) 長(zhǎng)方體的表面展開(kāi)方式不同，可考慮不同的展開(kāi)方式 . 規(guī)范解答 解 把長(zhǎng)方體含 AC1的面作展開(kāi)圖，有三種情形如圖所示：利用勾股定理可得 AC1的長(zhǎng)分別為 90 、 74 、 80 . ［ 12 分］ 由此可見(jiàn)圖 ② 是最短線(xiàn)路，其路程的最小值 為 74 . ［ 1 4 分］ 批閱筆記 ( 1 ) 解決空間幾何體表面上的最值問(wèn)題的 根本思路是 “ 展開(kāi) ” ，即將空間幾何體的“ 面 ” 展開(kāi)后鋪在一個(gè)平面上，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問(wèn)題 . ( 2 ) 如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問(wèn)題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線(xiàn)展開(kāi)，把不在一個(gè)平面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上 . 如果是圓柱、圓錐則可沿母線(xiàn)展開(kāi)，把曲面上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面上的問(wèn)題 . ( 3 ) 本題的易錯(cuò)
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