函數(shù)的周期性與對(duì)稱(chēng)性(參考版)
2024-11-10 20:13本頁(yè)面
【正文】 廣東 )對(duì)函數(shù) f（ x） ， 當(dāng) x∈ （ － ∞， ∞） 時(shí) ， f（ 2－ x） ＝ f（ 2+x） ， f（ 7－ x） ＝ f（ 7+x） ， 在閉區(qū)間 ［ 0,7］ 上 ， 只有 f（ 1） ＝ f（ 3） ＝ 0. （ 1） 試判斷函數(shù) y＝ f（ x） 的奇偶性； （ 2） 試求方程 f（ x） ＝ 0在閉區(qū)間 ［ － 2020， 2020］ 上的根的個(gè)數(shù) ， 并證明你的結(jié)論 . 【 解 】 （ 1） 由已知得 f（ 0） ≠0， ∴ f（ x） 不是奇函數(shù) ， 又由 f（ 2－ x） ＝ f（ 2+x） ， 得函數(shù) y＝ f（ x）的對(duì)稱(chēng)軸為 x＝ 2， ∴ f（ － 1） ＝ f（ 5） ≠0， ∴ f（ －1） ≠f（ 1） ， ∴ f（ x） 不是偶函數(shù) . 故函數(shù) y＝ f（ x） (2)由 f（ 4－ x） ＝ f（ 14－ x） f（ x） ＝ f（ x+10） ， 從而知 y＝ f（ x） 的周期是 10. 又 f（ 3） ＝ f（ 1） ＝0， f（ 11） ＝ f（ 13） ＝ f（ － 7） ＝ f（ － 9） ＝ 0，f（ x） 在 ［ 0， 10］ 和 ［ － 10， 0］ 上均有兩個(gè)解
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