【正文】 (3)P是線段 AB上一點(diǎn) ,連接 PC,PD,若△ PCA與△ PDB的面積相等 ,求點(diǎn) P的坐標(biāo) . ? 14,2???????mx解析 (1)4x1.? (2分 ) (2)將 A? ,B(1,2)分別代入 y=kx+b,得 ? 解得 k=? ,b=? . ∴ 一次函數(shù)的解析式為 y=? x+? .? (4分 ) 將 B(1,2)代入 y=? 中 ,得 ? =2,∴ m=2.? (6分 ) (3)∵ 點(diǎn) P在線段 AB上 , ∴ 設(shè) P的坐標(biāo)為 ? .? (7分 ) ∵ S△ PCA=S△ PDB,∴ ? ? (a+4)=? 1? , 解得 a=? ,? (8分 ) ∴ ? a+? =? ? +? =? . ∴ 點(diǎn) P的坐標(biāo)是 ? .? (9分 ) 14,2???????1 4,2 kbkb? ? ? ????? ? ??12521252mx 1m?15, 22aa?1212 121522a??????????????5212521252?525455,24?11.(2022珠海 ,19,7分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,邊長為 2的正方形 ABCD關(guān)于 y軸對(duì)稱 ,邊 AD在 x軸上 ,點(diǎn) B在第四象限 ,直線 BD與反比例函數(shù) y=? 的圖象交于點(diǎn) B、 E. ? (1)求反比例函數(shù)及直線 BD的解析式 。 (2)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式 . ? kx43解析 (1)∵ AH⊥ y軸于 H,∴∠ AHO=90176。D) =2? =22, ∴ 線段 AB掃過的面積是 22. ? 1 1 1(3 4) 6 3 4 242 2 2??? ? ? ? ? ? ? ? ?????8.(2022安徽 ,20,10分 )如圖 ,一次函數(shù) y=kx+b的圖象分別與反比例函數(shù) y=? 的圖象在第一象限 交于點(diǎn) A(4,3),與 y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) B,且 OA=OB. (1)求函數(shù) y=kx+b和 y=? 的表達(dá)式 。=2(S梯形 OBA39。C與 x軸交于點(diǎn) D,則有 S?ABB39。,A39。P =32+44 =22, ∴ 線段 AB掃過的面積是 22. ? 解法二 :連接 BB39。=S?OBB39。≌ △ AOB,則有 S?ABB39。,由平移得△ A39。C∥ y軸 ,交雙曲線于點(diǎn) C, ∴ 點(diǎn) C的橫坐標(biāo)為 6, 當(dāng) x=6時(shí) ,y=? =? ,∴ C? .? (5分 ) 設(shè)直線 PC的表達(dá)式為 y=kx+b,k≠ 0, 則有 ? 解得 ? ∴ 直線 PC的表達(dá)式為 y=? x+? .? (6分 ) (3)22.? (8分 ) 2kx 2k864346,3??????4 2 ,4 6,3kbkb????? ????2 ,316,3kb? ?????? ???23163以下解法供參考 : 解法一 :連接 BB39。. ∴ A(4,0)經(jīng)平移得 A39。 (3)直接寫出線段 AB掃過的面積 . ? 2kx解析 (1)∵ 點(diǎn) P(2,4)在射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)上 ,∴ 4=2k1,4=? ,解得 k1=2,k2=8.? (2 分 ) (2)∵ 點(diǎn) O(0,0)經(jīng)過平移得到對(duì)應(yīng)點(diǎn) P(2,4), ∴ Rt△ AOB先向右平移 2個(gè)單位 ,再向上平移 4個(gè)單位可得 Rt△ A39。C∥ y軸交 雙曲線于點(diǎn) C. (1)求 k1與 k2的值 。.過點(diǎn) A39。OC =? 22+? 22 =4.? (10分 ) 12 121 17.(2022江西 ,20,8分 )如圖 ,射線 y=k1x(x≥ 0)與雙曲線 y=? (x0)相交于點(diǎn) P(2,4).已知點(diǎn) A(4,0), B(0,3),連接 AB,將 Rt△ AOB沿 OP方向平移 ,使點(diǎn) O移動(dòng)到點(diǎn) P,得到△ A39。, ∵ BM=OM,OB=2? ,∴ BM=OM=2, ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為 (2,2). ∵ 點(diǎn) B(2,2)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,∴ 2=? , ∴ k=4, ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (3分 ) ∵ 點(diǎn) A在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 4, ∴ 點(diǎn) A的橫坐標(biāo)為 ? =1. ∴ 點(diǎn) A的坐標(biāo)為 (1,4). ∵ 點(diǎn) A(1,4),B(2,2)在一次函數(shù) y=mx+n的圖象上 , ∴ ? 解這個(gè)方程組 ,得 ? 2kx 2k?4x4x444,2 ????? ? ? ?? 2, ??? ??∴ 一次函數(shù)的解析式為 y=2x+2.? (7分 ) (2)對(duì)于函數(shù) y=2x+2,令 x=0,得 y=2, ∴ 點(diǎn) C的坐標(biāo)為 (0,2), ∴ OC=2, ∴ S四邊形 MBOC=S△ MBO+S△ OCM =? OM (2)當(dāng) x為何值時(shí) ,y10? (3)當(dāng) x為何值時(shí) ,y1y2?請(qǐng) 直接 寫出 x的取值范圍 . ? 2kx解析 (1)∵ 一次函數(shù) y1=k1x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn) C(4,2),D(2,4), ∴ ? ? (1分 ) 解得 ? ? (2分 ) ∴ 一次函數(shù)的表達(dá)式為 y1=x+2.? (3分 ) ∵ 反比例函數(shù) y2=? 的圖象經(jīng)過點(diǎn) D(2,4),∴ 4=? ,∴ k2=8. ∴ 反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y2=? .? (4分 ) (2)由 y10,得 x+20.? (5分 ) ∴ x2. ∴ 當(dāng) x2時(shí) ,y10.? (6分 ) (3)x4或 0x2.? (8分 ) 114 2,? ? ? ??? ??? 1 1, ??? ??2kx 22k8x6.(2022重慶 A卷 ,22,10分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系中 ,一次函數(shù) y=mx+n(m≠ 0)的圖象與反比例 函數(shù) y=? (k≠ 0)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的 A、 B兩點(diǎn) ,與 y軸交于點(diǎn) B作 BM⊥ x軸 ,垂 足為 M,BM=OM,OB=2? ,點(diǎn) A的縱坐標(biāo)為 4. (1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式 。 ②若區(qū)域 W內(nèi)恰有 4個(gè)整點(diǎn) ,結(jié)合函數(shù)圖象 ,求 b的取值范圍 . kx 14解析 (1)由函數(shù) y=? (x0)的圖象過點(diǎn) A(4,1),得 k=14=4. (2)①整點(diǎn)個(gè)數(shù)為 3. ? ②如圖 , kx若 b0,當(dāng)直線過點(diǎn) (1,2)時(shí) ,b=? , 當(dāng)直線過點(diǎn) (1,3)時(shí) ,b=? , ∴ ? b≤ ? 。 (2)如圖 ,反比例函數(shù) y=? (1≤ x≤ 4)的圖象記為曲線 C1,將 C1向左平移 2個(gè)單位長度 ,得曲線 在圖中畫出 C2,并直接寫出 C1平移至 C2處所掃過的面積 . 4x4解析 (1)由 ? 得 kx2+4x4=0(k≠ 0).? (2分 ) ∵ 反比例函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn) , ∴ Δ=16+16k=0. ∴ k=1.? (4分 ) (2)曲線 C2如圖 .? (6分 ) ? C1平移至 C2處掃過的面積為 6個(gè)平方單位 .? (8分 ) 4 ,4y xy k x? ???????考點(diǎn)二 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用 1.(2022福建福州 ,10,4分 )如圖 ,已知直線 y=x+2分別與 x軸 ,y軸交于 A,B兩點(diǎn) ,與雙曲線 y=? 交于 E,F兩點(diǎn) .若 AB=2EF,則 k的值是 ? ( ) ? C.? D.? kx12 34答案 D 如圖 ,作 ED⊥ OB,EC⊥ OA,FG⊥ OA,垂足分別為 D,C,G,ED交 FG于 H,易得 A(2,0),B(0, 2),∴ △ ACE、△ AOB、△ EHF都是等腰直角三角形 , 又 ∵ AB=2EF,∴ EH=FH=1,設(shè) OG=x,∴ AC=EC=1x, ∴ E(x+1,1x),F(x,2x). 又 ∵ 點(diǎn) E、 F在雙曲線上 ,∴ (x+1)(1x)=x(2x),解得 x=? ,∴ E? ,k=? . ? 1231,22??????342.(2022陜西 ,13,3分 )已知一次函數(shù) y=2x+4的圖象分別交 x軸、 y軸于 A、 B兩點(diǎn) .若這個(gè)一次函數(shù) 的圖象與一個(gè)反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點(diǎn) C,且 AB=2BC,則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式 為 . 答案 y=? 6x解析 由題可得 A(2,0),B(0,4),所以 OA=2,OB= ,作 CD⊥ x軸交 x軸于點(diǎn) D,因?yàn)?AB=2BC,所 以 OD=? OA=1,CD=? OB=6,所以 C(1,6),設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? (k≠ 0),則 k=16=6,故反 比例函數(shù)的表達(dá)式為 y=? . ? 12 32 kx6x3.(2022四川成都 ,25,4分 )如圖 ,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,直線 y=? x與雙曲線 y=? 相交于 A,B兩 點(diǎn) ,C是第一象限內(nèi)雙曲線上一點(diǎn) ,連接 CA并延長交 y軸于點(diǎn) P,連接 BP,△ PBC的面積是 20,則點(diǎn) C的坐標(biāo)為 . ? 32 6x答案 ? 1 4 9,37??????解析 由題意可設(shè) C? ,BC交 y軸于 D, 解方程組 ? 得 ? 或 ? ∴ A點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,3),B點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,3). 設(shè)直線 BC的解析式為 y=kx+b(k≠ 0), 把 B(2,3),C? 代入 , 得 ? 解得 ? ∴ 直線 BC的解析式為 y=? x+? 3, 當(dāng) x=0時(shí) ,y=? 3, ∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . 6,a a??????3 ,26yxy x? ????? ???2,3xy ??? ??2,3,xy ???? ??? 6,a a2 3 ,6 ,kba k b a? ? ? ???? ????3 ,6 3,k ab a? ???????3a6a6a60 , 3a ?設(shè)直線 AC的解析式為 y=mx+n(m≠ 0), 把 A(2,3),C? 代入 ,得 ? 解得 ? ∴ 直線 AC的解析式為 y=? x+? +3, 當(dāng) x=0時(shí) ,y=? +3, ∴ P點(diǎn)坐標(biāo)為 ? . ∴ PD=6.∵ S△ PBC=S△ PBD+S△ CPD, ∴ ? 26+? a6=20,解得 a=? , ∴ C點(diǎn)坐標(biāo)為 ? .故答案為 ? . 6,a a??????2 3 ,6 ,mna m n a????? ????3 ,6 3,m an a? ?????? ????3a6a6a60 , 3a ?1 12 1431 4 9,371 4 9,4.(2022北京 ,23,6分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ,函數(shù) y=? (x0)的圖象 G經(jīng)過點(diǎn) A(4,1),直線 l:y=? x +b與圖象 G交于點(diǎn) B,與 y軸交于點(diǎn) C. (1)求 k的值 。? AD=ab=a(ta)=a2+ta. ∴ k關(guān)于 a的函數(shù)圖象是開口向下的拋物線 ,且當(dāng) a=? , 即 a=b時(shí) ,k最大 , ∴ 在邊 AB從小于 AD到大于 AD的變化過程中 ,k的值先增大后減小 .故選 C. 12122t10.(2022江蘇連云港 ,8,3分 )如圖 ,△ ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為 A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函數(shù) y=? 在第 一象限內(nèi)的圖象與△ ABC有交點(diǎn) ,則 k的取值范圍是 ? ( ) ? ≤ k≤ ? ≤ k≤ 10 ≤ k≤ 6 ≤ k≤ ? kx494 252答案 A 若反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn) A(1,2),則 k= BC的表達(dá)式為 y=mx+b(m≠ 0),則 ? 解得 ? 所以直線 BC的表達(dá)式為 y=x+7,若反比例函數(shù)圖象與直線 BC有交點(diǎn) ,則 反比例函數(shù)圖象與直線 BC的交點(diǎn)橫坐標(biāo) x滿足 ? =x+7,即 x27x+k=0,由 Δ=b24ac=494k≥ 0,得 k ≤ ? ,當(dāng) k=? 時(shí) ,可求得反比例函數(shù)的圖象與直線 BC的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ? ,該點(diǎn)在線段 BC上 .故 當(dāng) 2≤ k≤ ? 時(shí) ,反比例函數(shù)的圖象與△ ABC有交點(diǎn) ,故選 A. 2 5,6 1,mbmb???? ??? 1,7,mb ???? ?? kx4944 77,22??????411.(2022貴州遵義 ,9,3分 )已知點(diǎn) A(2,y1),B(3,y2)是反比例函數(shù) y=? (k0)圖象上的兩點(diǎn) ,則有 ? ( ) 0y2 0y1 y20 y10 kx答案 B 反比例函數(shù) y=? (k0)的圖象在第二、四象限 ,則點(diǎn) A(2,y1)在第二象限 ,點(diǎn) B(3,y2)在 第四象限 ,所以 y10,y20,所以 y20 B. kx12.(2022江蘇連云港 ,7,3分 )如圖 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn) ,菱形 O