全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法(有答案)(參考版)
2025-06-22 22:58本頁面
【正文】 25 。延長(zhǎng)AC至E，使，連接DE．（1）中我們已經(jīng)得出，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，因此兩三角形全等，那么，．三角形MDN和EDN中，有，有一條公共邊，因此兩三角形全等，至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE，把MN轉(zhuǎn)換成了NE，因?yàn)椋虼耍甉與L的關(guān)系的求法同（1），得出的結(jié)果是一樣的。(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.分析：（1）作輔助線，過點(diǎn)A作于點(diǎn)E，在中，已知，AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE，PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，求PD長(zhǎng)即為求的長(zhǎng)，在中，可將的值求出，在中，根據(jù)勾股定理可將的值求出；解法二：過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，交PB于G，在中，可求出AG，EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知PG的值，在中，可求出PF，在中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；（2）將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，PD的最大值即為的最大值，故當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，根據(jù)可求的最大值，此時(shí)．EPADCB解：（1）①如圖，作于點(diǎn)E∵中，∴∵∴在中，∴P′PACBDE②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得，∴，∴，∴；解法二：如圖，過點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F，設(shè)DA的延長(zhǎng)線交PB于G．GFPACBDE在中，可得，在中，可得，在中，可得（2）如圖所示，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到，PD的最大值，即為的最大值∵中，且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)∴當(dāng)、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值（如圖）P′PACBDP′PACBD此時(shí)，即的最大值為6此時(shí)在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且,BD=DC. 探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ； 此時(shí) ； （II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q= （用、L表示）．分析：（1）如果，因?yàn)?，那么，也就有，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)?，根?jù)HL定理，兩三角形全等。證明圖2，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使，連接BKKABCDEFMN圖 2則∴，∵，∴∴∴∴∴∴即圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45176。∠DAM=∠DFE=30176?！螩DE=∠EDF (∠CDE=∠BDM) ∠MDB=60176?！螹DA=60176。 DN=DN∴△DMN≌△DEN，∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中， ∠MDN=∠EDN=60176。 ∵在△DMN和△DEN中，60176?！螦BD=90176?！螪CE=180176。+30176。從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF（ASA）故有DE=DF（2）S△ABC=2, S四DECF= S△ACD=1例3 如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為 ；解：(圖形補(bǔ)全法, “截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”, 計(jì)算數(shù)值法) AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120176。由于DM⊥DN，有∠EDN＝90176。解：(計(jì)算數(shù)值法)（1）連接DC， D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90176。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。解：（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為（2）答：（1）中的結(jié)論仍然成立。AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。AB+AC＝2AEAE＝（a
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