【正文】 ∴CBNM是矩形，∴CM=BN，易證△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，又∠1=∠2。∴CBNM是矩形，∴CM=BN，易證△CMP是等腰直角三角形，∴PM=CM=BN，又∠1=∠PBN=90176。即∠MAP=45176?！唷螪AP+∠BAG=45176。DM=BG，∠MAD=∠BAG，∴∠MDP=90176。即AP⊥PF．（3）DP2+BG2=PG2．理由如下：把△AGB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90176。易證得△AMP≌△AGP，得到MP=PG，即有DP2+BG2=PG2．解答：解：（1）M（﹣6，2）或（2，﹣2）；（2）AP=PF且AP⊥PF．理由如下：過A作AH⊥DB，如圖，∵A（﹣2，0），D（0，4），∴AD==2，∵四邊形ABCD為正方形，∴BD=2?=2，∴AH=DH=BD=，而PG=，∴DP+BG=，而DH=DP+PH=，∴PH=BG，∵∠GBF=45176。得到∠MAD+∠DAP=45176。根據(jù)勾股定理有DP2+BG2=PM2；由∠PAG=45176。得到△AMD，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠MDA=∠ABG=45176。即把Rt△ADO繞點A順時針（或逆時針）旋轉(zhuǎn)90176。AB=AD∴△ABS≌△DAF∴DF=AS∴DF=AH．（2）DF=AH．同理可證DF=AH．（3）DF=AH．點評：本題利用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等求解．注意三個小題的證明方法一樣．即不論點E在CD上還是DC的延長線上結(jié)果都一樣．　27．在直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4交x軸于A，交y軸于D（1）以A為直角頂點作等腰直角△AMD，直接寫出點M的坐標(biāo)為?。ī?，2）、（2，2）；?。?）以AD為邊作正方形ABCD，連BD，P是線段BD上（不與B、D重合）的一點，在BD上截取PG=，過G作GF⊥BD，交BC于F，連AP則AP與PF有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）在（2）中的正方形中，若∠PAG=45176。又∵AG=AG∴△AGH≌△AGS∴AH=AS，∵AB∥CD∴∠AFD=∠BAG，∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90176。求證：AH=DF；（2）如圖2，E是線段CD上（不與C、D重合）任一點，請問：AH與DF有何數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，E是線段DC延長線上一點，若F是△ADE中與∠DAE相鄰的外角平分線與CD的交點，其它條件不變，請判斷AH與DF的數(shù)量關(guān)系（畫圖，直接寫出結(jié)論，不需證明）．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理．2097170專題：幾何綜合題．分析：（1）延長BG交AD于點S，由于AF是HAS的角的平分線，BS⊥AF故有∠HAG=∠SAG，∠HGA=SGA=90176。=45176?！唷螦BE=∠AEB=，∴∠ABF=∠GDE．又∵∠DEG=∠DEA﹣∠AEB=60176。+60176。=15176。∵四邊形ABCD是正方形，△ADE是等邊三角形，∴∠GDE=60176?！唷螼AD=∠AED=∠AOD=90176。∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)﹣﹣旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．　25．已知點E是正方形ABCD外的一點，EA=ED，線段BE與對角線AC相交于點F，（1）如圖1，當(dāng)BF=EF時，線段AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明；（2）如圖2，當(dāng)△EAD為等邊三角形時，寫出線段AF、BF、EF之間的一個數(shù)量關(guān)系，并證明．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．2097170分析：（1）要求AF與DE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，而題目涉及在正方形中，連接正方形的對角線是常用的方法，連接對角線BD是關(guān)鍵，得到四邊形ODEA是正方形，利用三角形中位線的性質(zhì)得到結(jié)論．（2）這個關(guān)系要用第一問類似的方法得出，輔助線不可少，制造全等三角形是難點．解答：解：（1）AF=，證明如下：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO=DO，∵BF=EF，∴OF=DE，OF∥DE．∵BD⊥AC，∴∠EDO=∠AOB=90176。∴∠DCF=∠5=∠NEF．在△DCF與△NEF中，∵，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，∵∠CFE=90176。∴∠H=90176。∴∠DFN=90176?！?=∠6，∴∠7=∠8．∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90176。．∴DC=NE．∵∠3=∠4，∴AD∥EH．∴∠H=∠ADC=90176?！郌M⊥MD，MF=MD；（6分）（3）MD=MF，MD⊥MF，證法一：如圖丙，延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．在△AMD與△EMN中，∵，∴△AMD≌△EMN，∴∠3=∠4，AD=NE．又∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90176。（如圖乙），令CG=2BC其他條件不變，結(jié)論是否發(fā)生變化，并加以證明；（2）將正方形CGEF繞點C旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖丙），其他條件不變．探究：線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并加以證明．考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；正方形的性質(zhì)．2097170專題：探究型．分析：（1）利用測量或觀察的方法即可作出判斷；（2）易證明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根據(jù)CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．從而證得FM⊥MD，MF=MD；（3）延長DM到N，使MN=MD，連接FD、FN、EN，延長EN與DC延長線交于點H．證明△DCF≌△NEF，即可得到線段MD，MF的位置及數(shù)量關(guān)系．解答：解：（1）MD=MF，MD⊥MF；（2分）（2）結(jié)論不變MD=MF，MD⊥MF，證明：如圖乙，延長DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF，∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90176。﹣∠FBC）∴∠FBC=∠GDC，∴△BFC≌△DGC，∴FC=CG，∠BCF=∠DCG．∴∠FCG=∠BCD=90176。﹣∠NBF=90176。所以PC=PF，PC⊥PF．故答案為：相等、垂直；（2）PC⊥PF，PF=PC．理由如下：延長FP至G使PG=PF，連DG，GC，F(xiàn)C，延長EF交BD于N，如圖，∵點P為DE的中點，∴△PDG≌△PEF，∴DG=EF=BF．∴∠PEF=∠PDG，∴EN∥DG，∴∠BNE=∠BDG=45176。．即有PC⊥PF，PF=PC．（3）根據(jù)題目要求畫出圖形，由（1）（2）得出結(jié)論．解答：解：（1）∵∠BFE=90176。點P為DE的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PF=PD=PE，PC=PD=PE，則PC=PF，又∠FPE=2∠FDP，∠CPE=2∠PDC，得到∠FPC=2∠FDC=90176。點B、E、F按逆時針順序），P為DE的中點，連接PC、PF．（1）如圖（1），E點在邊BC上，則線段PC、PF的數(shù)量關(guān)系為　相等　，位置關(guān)系為　垂直?。ú恍枰C明）．（2）如圖（2），將△BEF繞B點順時針旋轉(zhuǎn)α176。即∠PMQ=90176?！唷螲PO+∠POH=90176?！郆G⊥DE．點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、對頂角相等、等式性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明△BCG≌△DCE．　22．如圖，正方形ABDE和ACFG是以△ABC的AB、AC為邊的正方形，P、Q為它們的中心，M是BC的中點，試判斷MP、MQ在數(shù)量和位置是有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論．考點：三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；矩形的判定；正方形的性質(zhì)；梯形中位線定理．2097170專題：證明題．分析：取AB和AC的中點分別為H和K，連接PH、PM、HM、QK、KM、QM，由正方形的性質(zhì)可知三角形APB與三角形ACQ都為等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PH等于AB的一半，QK等于AC的一半，然后由MH和MK都為三角形ABC的中位線，根據(jù)中位線定理得到HM等于AC的一半，MK等于AB的一半，等量代換得到PH=MK，HM=QK，然后由中位線定理得到MH與AC平行，MK與AB平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等，再等量代換得到∠BHM=∠CKM，兩邊都加上直角，得到∠PHM=∠MKQ，利用SAS即可得到三角形PMH與三角形KQM全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到PM=QM；由全等得到∠MPH=∠QMK，再由MK與AB平行，得到同位角相等，由PH與AB垂直得到一對銳角互余，等量代換得到∠PMK與∠KMQ互余，即∠PMQ為直角，從而得到PM與QM垂直．解答：解：MP、MQ之間的關(guān)系是MP=MQ，MP⊥MQ，證明：取AB得中點H，AC的中點K，連接PH，HM，PM，QK，KM，MQ，∵P和Q分別為兩正方形的中心，∴△APB與△AQC都為等腰直角三角形，∴QK=AC，PH=AB（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），又HM與KM都為△ABC的中位線，∴HM=AC，MK=AB，∴QK=HM，MK=PH，∴HM∥AC，MK∥AB，∴∠BHM=∠BAC，∠CKM=∠BAC，∴∠BHM=∠CKM，又PH⊥AB，QK⊥AC（等腰三角形的三線合一），∴∠PHB=∠QKC=90176。﹣90176。BC=CD，CE=CG，∴∠BCD+∠DCG=∠GCF+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴∠1=∠2，BG=DE，又∵∠BHC=∠DHO，∴∠1+∠BHC=∠2+∠DHO，即∠2+∠DHO=90176。結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得∠DOH=90176?！郌C=HF=．∴S四邊形BCFE=（FC+BE）BC=（+）4=6．故答案為：6．點評：此題主要考查了折疊問題與解直角三角形以及正方形的知識，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，以及解直角三角形時相等的角三角函數(shù)值相等．　21．如圖，四邊形ABCD是正方形，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE．猜想圖中線段BG、DE的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．考點：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．2097170專題：探究型．分析：由于四邊形ABCD、四邊形CEFG是正方形，那么又BC=CD，CG=CF，∠BCD=∠GCE=90176?！唷?=∠1．∴sin∠3=sin∠1=，在Rt△DGP中，∵∠D=90176。．∵點E，F(xiàn)分別在AB，CD邊上，∴四邊形BCFE是直角梯形．∵BE=GE=，AB=4，∴AE=．∴sin∠1=，tan∠1=．∵∠1+∠2=90176。．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．（6分）（3）由（1）知，BE=EG，DF=FG．設(shè)AG=x，則CE=x﹣4，CF=x﹣6．在Rt△CEF中，∵CE2+CF2=EF2，∴（x﹣4）2+（x﹣6）2=102．解這個方程，得x1=12，x2=﹣2（舍去負(fù)根）．即AG=12．（8分）在Rt△ABD中，∴．在（2）中，MN2=ND2+DH2，BM=DH，∴MN2=ND2+BM2．（9分）設(shè)MN=a，則．即a 2=（9﹣a） 2+（3） 2，∴．即．（10分）點評：本題考查正方形的性質(zhì)，四邊相等，對角線平分每一組對角，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的知識點等．　20．如圖，將邊長為4的正方形ABCD沿著折痕EF折疊，使點B落在邊AD的中點G處，那么四邊形BCFE的面積等于　6　．考點：翻折變換（折疊問題）．2097170分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)得出CF=HF，BE=GE，設(shè)BE=GE=x，則AE=4﹣x，再利用勾股定理首先求出BE的長，即可得出AE，利用角相等三角函數(shù)值就相等，即可求出CF，即可得出答案．解答：解：由題意，點C與點H，點B與點G分別關(guān)于直線EF對稱，∴CF=HF，BE=GE．設(shè)BE=GE=x，則AE=4﹣x．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90176。AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45176?！唷螲AN=∠DAH+∠DAN=45176。將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90176。延長EB、FC交于點G，則四邊形AEGF是矩形，又∵AE=AD=AF∴四邊形AEGF是正方形，由（1）、（2）知：EB=DB=2，F(xiàn)C=DC=3，設(shè)AD=x，則EG=AE=AD=FG=x，∴BG=x﹣2；CG=x﹣3；BC=2+3=5，在Rt△BGC中，（x﹣2）2+（x﹣3）2=52解得x1=6，x2=﹣1，故AD的長為6．點評：本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判斷，題目的綜合性很強，難度中等．　19．（2011?咸寧）（1）如圖①，在正方形ABCD中，△AEF的頂點E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求∠EAF的度數(shù)．（2）如圖②，在Rt△ABD中，∠BAD=90176。又∵∠BAC=45176。∵在△EAM和△NAM中，∴△EAM≌△NAM（SAS），又∵EM和NM是對應(yīng)邊，∴AB=AH（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）；（2）作△ABD關(guān)于直線AB的對稱△ABE，作△ACD關(guān)于直線AC的對稱△ACF，∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90176。∴∠2+∠3=45176。∴∠1+∠3=90176。又∵AB=AD，∵在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴∠