【正文】 BF=BE? 1. (2)證明 :∵ BF=? ,BC=1,∴ BE=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BP=BC=1,∠ FNM=∠ BNM=90176。 (2)已知四邊形 BCEF為 ? 矩形 ,模仿上述操作 ,得到四邊形 BCMN,如圖② ,求證 :四邊形 BCMN是 ? 矩形 。BCD是平行四邊形 . 1210.(2022山東青島 ,23,10分 )問題提出 :如何將邊長為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )的正方形分割為一些 1 5或 23的矩形 (ab的矩形指邊長分別為 a,b的矩形 )? 問題探究 :我們先從簡單的問題開始研究解決 ,再把復雜問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題 . 探究一 : 如圖① ,當 n=5時 ,可將正方形分割為五個 15的矩形 . 如圖② ,當 n=6時 ,可將正方形分割為六個 23的矩形 . 如圖③ ,當 n=7時 ,可將正方形分割為五個 15的矩形和四個 23的矩形 . 如圖④ ,當 n=8時 ,可將正方形分割為八個 15的矩形和四個 23的矩形 . 如圖⑤ ,當 n=9時 ,可將正方形分割為九個 15的矩形和六個 23的矩形 . ? 探究二 : 當 n=10,11,12,13,14時 ,分別將正方形按下列方式分割 : ? 所以 ,當 n=10,11,12,13,14時 ,均可將正方形分割為一個 55的正方形、一個 (n5)(n5)的正方形 和兩個 5(n5)的矩形 .顯然 ,55的正方形和 5(n5)的矩形均可分割為 15的矩形 ,而 (n5)(n5) 的正方形是邊長分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用探究一的方法可分割為一些 15或 23的矩形 . 探究三 : 當 n=15,16,17,18,19時 ,分別將正方形按下列方式分割 : ? 請按照上面的方法 ,分別畫出邊長為 18,19的正方形分割示意圖 . 所以 ,當 n=15,16,17,18,19時 ,均可將正方形分割為一個 1010的正方形、一個 (n10)(n10)的正 方形和兩個 10(n10)的矩形 .顯然 ,1010的正方形和 10(n10)的矩形均可分割為 15的矩形 , 而 (n10)(n10)的正方形又是邊長分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用探究一的方法可分割為一些 1 5或 23的矩形 . 問題解決 :如何將邊長為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )的正方形分割為一些 15或 23的矩形 ?請按照上面 的方法畫出分割示意圖 ,并加以說明 . 實際應用 :如何將邊長為 61的正方形分割為一些 15或 23的矩形 ?(只需按照探究三的方法畫 出分割示意圖即可 ) 解析 探究三 : ? 問題解決 : 當正方形的邊長為 n(n≥ 5,且 n為整數(shù) )時 ,按下圖方式 ,均可將正方形分割為一個 5m5m的正方 形、一個 (n5m)(n5m)的正方形和兩個 5m(n5m)的矩形 .顯然 ,5m5m的正方形和 5m(n5m) 的矩形均可分割為 15的矩形 ,而 (n5m)(n5m)的正方形又是邊長分別為 5,6,7,8,9的正方形 ,用 探究一的方法可分割為一些 15或 23的矩形 . ? 實際應用 : ? 思路分析 n=1 1 17時 ,發(fā)現(xiàn)規(guī)律 :左上 1010,左下 10(n10),右上 10(n10),右下 (n10)(n 10),從而畫出 n=1 19時的分割示意圖 .進而得到一般規(guī)律 ,解決其他問題 . 解題關鍵 通過前面的示例發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ,并利用規(guī)律解決問題 . 11.(2022福建福州 ,24,12分 )定義 :長寬比為 ? ∶ 1(n為正整數(shù) )的矩形稱為 ? 矩形 . 下面 ,我們通過折疊的方式折出一個 ? 矩形 ,如圖①所示 . 操作 1:將正方形 ABCD沿過點 B的直線折疊 ,使折疊后的點 C落在對角線 BD上的點 G處 ,折痕為 BH. 操作 2:將 AD沿過點 G的直線折疊 ,使點 A,點 D分別落在邊 AB,CD上 ,折痕為 EF. 則四邊形 BCEF為 ? 矩形 . ? 圖① 證明 :設正方形 ABCD的邊長為 1,則 BD=? =? . 由折疊性質(zhì)可知 BG=BC=1,∠ AFE=∠ BFE=90176。D,連接 A39。C+13=? +13=? . 綜上所述 ,a的值為 ? 或 ? . (4)答案不唯一 . 例 :如圖 . 12 1222BC CF? 2213 5?CEBF ACBC 12CE1013 1202224013 711324013 409137113 40913? 平移及構圖方法 :將△ ACD沿著射線 CA方向平移 ,平移距離為 ? AC的長度 ,得到△ A39。C13=? 13=? . ② 點 C″在 C39。恰好為正方形時 ,分兩種情況 : ① 點 C″在邊 C39。D是矩形 . (3)過點 B作 BF⊥ AC,垂足為 F. 12∵ BA=BC,∴ CF=AF=? AC=? 10=5(cm). 在 Rt△ BCF中 ,BF=? =? =12(cm). 在△ ACE和△ CBF中 ,∵∠ CAE=∠ BCF,∠ CEA=∠ BFC=90176。∠ CEA=90176。, ∴∠ BCC39。,∴ 四邊形 BCC39。,∴ BC∥ DC39。=AC,∴∠ CAE=∠ C39。D,在圖 4中畫 出平移后構造出的新圖形 ,標明字母 ,說明平移及構圖方法 ,寫出你發(fā)現(xiàn)的結論 ,不必證明 . ? 圖 4 解析 (1)菱形 . (2)證明 :如圖 ,作 AE⊥ CC39。 (4)請你參照以上操作 ,將圖 1中的△ ACD在同一平面內(nèi)進行一次平移 ,得到△ A39。,CC″,使四邊形 BCC″D39。C″D39。 實踐探究 (3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上 ,量得圖 3中 BC=13 cm,AC=10 cm,然后提出一個問 題 :將△ AC39。C,得到四邊形 BCC39。 (2)創(chuàng)新小組將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 α,使 α=2∠ BAC,得到如圖 3 所示的△ AC39。交于點 E,則四邊形 ACEC39。)沿對角線 AC剪開 ,得到△ ABC和△ ACD. ? 操作發(fā)現(xiàn) (1)將圖 1中的△ ACD以 A為旋轉(zhuǎn)中心 ,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角 α,使 α=∠ BAC,得到如圖 2所示的 △ AC39。的周長是 4? . (3)如圖 . ? 121233周長為 2? =6+? . 如圖 . ? 周長為 2? =3+2? . 33 2???????33 32???????38.(2022江西 ,16,6分 )如圖 ,已知正七邊形 ABCDEFG,請 ? ,分別按下列要求畫圖 . (1)在圖 1中 ,畫出一個以 AB為邊的平行四邊形 。是菱形 . ∴ 四邊形 ABC39。,∴ BD=2,∴ AB=? . 易證 ABC39。D為菱形 . (2)∵∠ DAB=90176。. ∴ 四邊形 AB39。為 BD中點 ,∴ AB39。,∠ ABD=30176。C39。C39。C39。D39。的周長為 。 (2)四邊形 ABC39。C39。,BC39。,C39。的位置 ,使 B39。C39。(所畫圖形不全 等 ) (2)在圖③中 ,以 AB為邊畫一個平行四邊形 ,且另外兩個頂點在格點上 . ? 解析 (1)每畫對一個得 2分 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? (2)畫對一個即可 .答案不唯一 ,以下答案供參考 . ? 7.(2022吉林 ,23,8分 )如圖① ,BD是矩形 ABCD的對角線 ,∠ ABD=30176。Y39。 (3)上述解決問題的過程中 ,通過作平行線把四邊形 BA39。YZ任務 :(1)請根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程 ,判斷四邊形 AXYZ的形狀 ,并加以證明 。ZA Y 39。BZZ 39。 Z 39。ZA BZ 39。,∴ ZA=YZ.… Z 39。=Y39?！?△ BAZ. ∴ ? =? . 同理可得 ? =? . ∴ ? =? . ∵ Z39。=∠ ABZ, ∴ △ BA39。=∠ BAZ, 又 ∵∠ A39。, ∴∠ BA39。,交 BD于點 ,過點 Z作 ZY∥ AC,交 BC于點 Y,再過點 Y作 YX∥ ZA,交 AC于點 X. 則有 AX=BY=XY. 下面是該結論的部分證明 : 證明 :∵ AZ∥ A39。.第三步 ,過點 A作 AZ∥ A39。=Y39。,使 Z39?！?CA,交 BD于點 Z39。,作 Y39。(2)證明 △ AOC∽ △ BOD,得 ? =? =? ,∠ OAC=∠ OBD,∠ AMB=∠ AOB=90176。.? (8分 ) (3)AC的長為 2? 或 3? .? (10分 ) ACBD 3CODO AOBO 3ACBD CODO 33 3【 提示 】 在△ OCD旋轉(zhuǎn)過程中 ,(2)中的結論仍成立 ,即 ? =? ,∠ AMB=90176。. ∴∠ CAO+∠ ABD+∠ BAO=90176。,∴ ? =? =? , 又 ∠ COD+∠ AOD=∠ AOB+∠ AOD,即 ∠ AOC=∠ BOD. ∴ △ AOC∽