【正文】 (3)如圖 3,∠ BDC=105176。(2)由于點(diǎn) D 在 BC的延長(zhǎng)線上 ,所以要考慮借助 (1)② 的證明過(guò)程 ,同時(shí)尋找它們之間的差異 ,另外 ,題目中有 很多相等的線段 ,所以要考慮借助全等三角形來(lái)解決 . 解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)全等三角形 ,能夠根據(jù)相等的線段構(gòu)造全等的三角形 . 31.(2022北京朝陽(yáng)二模 ,28)在△ ABC中 ,點(diǎn) D、 E分別在 AB、 AC上 ,BE、 CD相交于點(diǎn) O,且 ∠ DCB=∠ EBC=? ∠ A. (1)如圖 1,若 AB=AC,則 BD與 CE的數(shù)量關(guān)系是 。 A作 AM⊥ BD于 M,過(guò)點(diǎn) E作 EN⊥ FG于 N,可證△ AMD≌ △ FNE,可得 AM=FN=1,NE所在直 102線為 FG的垂直平分線 ,FE=EG。. ∴ BC=CG,BC⊥ CG. (2)GE=? . 思路如下 : ,如圖所示 . ? ②同理 ,可得 BD=CF,BC=CG,BC⊥ CG。. ∴∠ B=∠ G=45176。. ∵ 四邊形 ADEF為正方形 , ∴∠ DAF=∠ 2+∠ 3=90176。,∠ 1+∠ 2=90176。 (2)若點(diǎn) D在線段 BC的延長(zhǎng)線上 ,且 G為 CF的中點(diǎn) ,連接 GE,AB=? ,則 GE的長(zhǎng)為 ,并簡(jiǎn) 述求 GE長(zhǎng)的思路 . ? 2解析 (1)① 補(bǔ)全圖形 ,如圖所示 . ? ② BC與 CG的數(shù)量關(guān)系為 BC=CG,位置關(guān)系為 BC⊥ CG. 證明 :∵ AB=AC,∠ BAC=90176。,點(diǎn) D在射線 BC上 (與 B、 C兩點(diǎn)不重 合 ),以 AD為邊作正方形 ADEF,使點(diǎn) E與點(diǎn) B在直線 AD的異側(cè) ,射線 BA與射線 CF相交于點(diǎn) G. (1)若點(diǎn) D在線段 BC上 ,如圖 1, ① 依題意補(bǔ)全圖 1。PMME 39。PA 39。PA 39。M,ME,P39。=BP=CE,設(shè) BP39。 P39。PQ∽ △ ADQ,從而 ? =? 。 PP39。上 ,正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 2,請(qǐng)寫(xiě)出求此時(shí) BP長(zhǎng)的思路 .(可以不寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果 ) ? 解析 (1)等腰直角三角形 . (2)① 補(bǔ)全圖形 ,如圖所示 . ? ②△ QPM是等腰三角形 . 證明 :延長(zhǎng) BC至 E,使 CE=BP,連接 AE,如圖 . ? ∵ PB=CE,∴ PB+BC=CE+BC,即 CP=BE. ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=DC,∠ ABC=∠ DCB=90176。在線段 BC上 .連接 AP39。 (3)點(diǎn) P39。 (2)當(dāng)點(diǎn) P在線段 CB的延長(zhǎng)線上時(shí) ,如圖 2. ① 依題意補(bǔ)全圖 2。. ∴ DG2=GH2+DH2. ∵∠ HDC=∠ DCF=90176。. ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ DAB=90176。,∴∠ DEG=90176。. ∵ 在△ AED和△ BFA中 ,? ∴ △ AED≌ △ BFA. ,A D A BD A E A B FA E B F???? ? ??? ??∴∠ 3=∠ 4,AF=DE. ∴ EG=DE. ∵∠ 2+∠ 4=90176。 ② 小亮通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想 :在點(diǎn) E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ,始終有 DG2=2AD2+2AE2. 小亮把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流 ,通過(guò)討論 ,形成了證明該猜想的幾種想法 : 想法 1:連接 EG,要證明 DG2=2AD2+2AE2,只需證四邊形 FAEG是平行四邊形及△ DGE是等腰直 角三角形 . 想法 2:延長(zhǎng) AD,GF交于點(diǎn) H,要證明 DG2=2AD2+2AE2,只需證△ DGH是直角三角形 . ? 請(qǐng)你參考上面的想法 ,幫助小亮證明 DG2=2AD2+2AE2.(一種方法即可 ) 解析 (1)相等 。, ∴ △ GBE是等邊三角形 , ∴ EG=BE, ∴ CD=BE. (3)k(BE+BD)=AC. 28.(2022北京豐臺(tái)二模 ,28)已知正方形 ABCD,點(diǎn) E,F分別在射線 AB,射線 BC上 ,AE=BF,DE與 AF 交于點(diǎn) O. (1)如圖 1,當(dāng)點(diǎn) E,F分別在線段 AB,BC上時(shí) ,則線段 DE與 AF的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 。, ∴∠ DAF=∠ EDB. 又 ∵ AD=DE, ∴ △ ADF≌ △ DEB. ∴ DF=BE=CD. 思路 3:延長(zhǎng) CB至 G,使 BG=CD. ? ∵ BG+BD=CD+BD, ∴ DG=BC. ∵ △ ABC為等邊三角形 , ∴ BC=AC,∠ C=60176。, ∵ DF∥ AB,∴∠ DFC=60176。, ∴ △ ADE為等邊三角形 ,∴ AE=AD. 又 ∵ △ ABC為等邊三角形 , ∴∠ EAD=∠ BAC=60176。 思路 3:要證明 CD=BE,只需要延長(zhǎng) CB至點(diǎn) G,使得 BG=CD,證明△ ADC≌ △ DEG. …… 請(qǐng)參考以上思路 ,幫助小玉證明 CD=BE.(只需要用一種方法證明即可 ) (3)小玉的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)了小明 :如圖 3,若 AB=AC=kBC,AD=kDE,且 ∠ ADE=∠ C,此時(shí)小明發(fā)現(xiàn) BE, BD,AC三者之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系 ,這個(gè)數(shù)量關(guān)系是 .(直接給出結(jié)論無(wú)需證 明 ) ? 解析 (1)30176。 ② 小玉通過(guò)觀察、驗(yàn)證 ,提出猜測(cè) :在點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中 ,恒有 CD= 論 ,形成了幾種證明的思路 : 思路 1:要證明 CD=BE,只需要連接 AE,并證明△ ADC≌ △ AEB。 (2)若△ ABC為等邊三角形 ,點(diǎn) D為線段 BC上一動(dòng)點(diǎn) (不與 B,C重合 ),連接 AD并將線段 AD繞點(diǎn) D 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。AF=? AF.② 由①②可得 ? =? . 22CEAF 2解題思路 (1)利用三角形全等證線段相等 . (2)根據(jù)題目中的想法證明 . (3)連接 GF,證明△ AFG是等腰直角三角形 ,以 FG為中間量求解 . 解題關(guān)鍵 解決本題第 (3)問(wèn)的關(guān)鍵是要通過(guò)構(gòu)造中點(diǎn)尋找 45176。. 12∴∠ FGA=90176。. 由對(duì)稱性 ,知 ∠ EAD=∠ BAD=45176。,AD∥ BC, ∴∠ BAD=180176。E的中點(diǎn) G,連接 GF. ? ∵ 由 (2)得 ,F為 CB39。F=FB=FC. ∴ F是 CB39。,∠ 2+∠ 4=90176。BC=90176。F=FB.∴∠ 1=∠ 2. ∵ AD∥ BC, ∴ B39。關(guān)于直線 AD對(duì)稱 , ∴ 直線 AD是線段 B39。BFFC 39。的中點(diǎn) . 證法三 :連接 BB39。H=HB. ∵ AD∥ BC, ∴ ? =? =1. ∴ FB39。關(guān)于直線 AD對(duì)稱 , ∴ 直線 AD是線段 B39。的中點(diǎn) . 證法二 :連接 BB39。FG≌ △ CFD(AAS). ∴ FB39。G∥ CD, ∴∠ 4=∠ D. ∵∠ B39。, ∴ B39。A=B39。G∥ CD,AB∥ CD, ∴ B39。關(guān)于直線 AD對(duì)稱 , ∴∠ 1=∠ 2,AB=AB39。作 B39。=FC. ∴ F是 CB39。=∠ CFD, ∴ △ AFB39。AD=∠ D,AB39。,AB=AB39。關(guān)于直線 AD對(duì)稱 , ∴∠ B39。,∴ ?ABCD為矩形 ,AB=CD. ∴∠ D=∠ BAD=90176。時(shí) ,AB39。. …… 請(qǐng)你參考上面的想法 ,證明 F為 CB39。,BF,只需證 ∠ B39。的中點(diǎn) 。 想法 2:連接 BB39。作 B39。的中點(diǎn) . (2)小宇通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想 :如圖 2,在點(diǎn) B繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中 ,點(diǎn) F始終為 CB39。交 AD 于 F點(diǎn) . (1)如圖 1,∠ ABC=90176。,CB39。. ∴ AH⊥ GH. 26.(2022北京海淀一模 ,28)在 ?ABCD中 ,點(diǎn) B關(guān)于直線 AD的對(duì)稱點(diǎn)為 B39。, ∴∠ AHM+∠ GHN=90176。. ∴ △ AGM為等腰直角三角形 . ∵ AH=MH, ∴ AH=GH,AH⊥ GH. 證法二 :連接 AC,GE分別交 BF于點(diǎn) M,N, ? 在正方形 ABCD和正方形 DEFG中 , ∴ AC⊥ BD,GE⊥ DF,DM=? BD,DN=? DF. ∴∠ AMD=∠ GNH=90176。, ∴ △ ADG≌ △ MFG. ∴∠ AGD=∠ MGF,AG=MG. 又 ∵∠ DGM+∠ MGF=90176。 想法 2:連接 AC,GE分別交 BF于點(diǎn) M,N,要證明結(jié)論成立只需證△ AMH≌ △ HNG. …… 請(qǐng)你參考上面的想法 ,幫助小宇證明 AH=GH,AH⊥ GH.(一種方法即可 ) 解析 (1)在正方形 ABCD和正方形 DEFG中 , △ ABD,△ GDF為等腰直角三角形 . ∵ AB=1,DG=2, ∴ 由勾股定理求得 BD=? ,DF=2? . ∵ B、 D、 F三點(diǎn)共線 , ∴ BF=3? . ∵ H是 BF的中點(diǎn) , ∴ BH=? BF=? ? . (2)證法一 :延長(zhǎng) AH交 EF于點(diǎn) M,連接 AG,GM, ? 2 2212 322在正方形 ABCD和正方形 DEFG中 ,∠ ABD=∠ DFE=45176。, ∴ △ ABE≌ △ CBM. ∴∠ 1=∠ BCM,MC=AE. 由 (1)知 ∠ 1=∠ 2,∴∠ 2=∠ BCM, ∴ MC∥ EP. ∴ 四邊形 MCPE為平行四邊形 . ∴ MC=PE.∴ AE=PE. 解題關(guān)鍵 本題提供了三種方法 ,都是正確的 ,但有簡(jiǎn)有繁 .構(gòu)造全等在有角等的情況下 ,選擇 截取邊 .解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知添加輔助線 ,同時(shí)要掌握全等三角形的判定方法 . 25.(2022北京順義一模 ,28)在正方形 ABCD和正方形 DEFG中 ,頂點(diǎn) B、 D、 F在同一直線上 ,H是 BF的中點(diǎn) . (1)如圖 1,若 AB=1,DG=2,求 BH的長(zhǎng) 。. 由證法一知 ∠ ECP=135176。,得到線段 BM,連接 CM,EM. ? ∴ MB=EB,∴∠ MEB=45176。,∴ 點(diǎn) H,C,P在同一條直線上 . ∵∠ 6=∠ 2+∠ P=45176。. ∵∠ ECP=135176。,∴ AE=EH,∠ 4+∠ 5=45176。. ∴∠ AGE=∠ ECP. 又 ∵∠ 1=∠ 2,∴ △ AGE≌ △ ECP. ∴ AE=PE. 證法二 :作點(diǎn) A關(guān)于 BC所在直線的對(duì)稱點(diǎn) H,連接 BH,CH,EH. ? ∴ AB=BH=BC,∠ ABE=∠ HBE=90176。. ABBE CEFC 523FC65∵∠ DCB=90176。,∴∠ BGE=45176。, ∵ AE⊥ EF, ∴∠ 2+∠ 3=90176。,得到線段 BM,連接 CM,EM,要證 AE=PE,需證四邊形 MCPE為平行四邊形 . 請(qǐng)你參考上面的想法 ,幫助小京證明 AE=PE.(一種方法即可 ) ? 解析 (1)∵ 正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 5,BE=2, ∴ EC=3. ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ B=∠ C=90176。 (2)延長(zhǎng) EF交正方形 ABCD外角平分線 CP于點(diǎn) P. ① 依題意將圖 2補(bǔ)全 。,∴∠ AEC+∠ BEF=∠ AEC+∠ DAE=90176。. (2)① 補(bǔ)全圖形 ,如圖所示 . ? ② 證明 :由題意可知 ∠ AEF=90176。,∠ ACB=90176。得到線段 EF,連接 BF,DE. ① 依題意補(bǔ)全圖形 。時(shí) ,求 ∠ DAE的度數(shù) 。,可知 ∠ ACE=? ∠ ABC. 14121214解題關(guān)鍵 解決本題的關(guān)鍵是借助輔助線 (建議使用“延長(zhǎng)” )構(gòu)造等腰三角形 ,尋找邊角關(guān) 系 . 23.(2022北京朝陽(yáng)一模 ,28)在△ ABC中 ,∠ ACB=90176。 ∠ BEF+∠ BFE+∠ EBF=180176。, ∠ BFE=∠ MCE. ∴ BC=BM. 由①可得 ,∠ BEF=∠ BFE,BE=BF. ∴∠ BFE=∠ MCE=∠ BEF. ∴ EM=MC,∴ BD=? EM=? (BC+BF). 1212 12(2)∠ ACE=? ∠ ABC. ? (1)② 同理可證 BD∥ PC,BD=? PC,BP=BC。. ∴∠ BEF=∠ CFD=∠ BFE=176。, ∴∠ ACB=45176。 ② 求證 :BD=? (BC+BF)。為等邊三角形 . 以下同證法一 . 22.(2022北京西城一模 ,28)在△ ABC中 ,AB=BC,BD⊥ AC于點(diǎn) D. (1)如圖 1,當(dāng) ∠ ABC=90176。. 由對(duì)稱性可知 AC=AC39。,從而 ∠ CAC39。. 根據(jù)對(duì)稱性 ,得 ∠ CAP=∠ C39。, 又 ∠ BAC=45176。. 由 BA=BP,∠ CBP=60176。. 證法二 :連接 AC39。D∠ AC39。. 所以 ∠ PC39。, 從而 ∠ ACP=∠ AC39。P=∠ ACP, 由△ ABC為等腰直角三角形 ,可得 ∠ ACB=45176。C=∠ PCC39。C=∠ ACC39。D=30176。D, 可得 ∠ AC39。D, 可證△ AC39。,DA=DC,C39。為等邊三角形 . 由 AC39。=CC39。. 由對(duì)稱性可知 PC=PC39。. 由①可得 ∠ CPC39。. 證法一 :連接 AC39。. ② ∠ PC39。. 根據(jù)對(duì)稱性 ,得 ∠ APC=∠ APC39。, 由 ∠ BPC=60176。,研究圖形中特殊的三角