【正文】 當整式方程的解為分式方程的增根時 ,x=1, ∴ m3=4,m=7, ∴ m的值為 3或 7. 2.(2022揚州江都一模 )為厲行節(jié)能減排 ,倡導綠色出行 ,我區(qū)推行“共享單車”公益活動 .某公 司在小區(qū)分別投放 A,B兩種不同款型的共享單車 ,其中 A型共享單車的投放量是 B型共享單車 的 ? 倍 ,B型共享單車的成本單價比 A型共享單車高 10元 ,A型、 B型共享單車投放成本分別為 3 3 000元和 27 600元 .求 A型共享單車的單價 . 54解析 設 A型共享單車的單價是 x元 ,依題意得 ? =? ? , 解得 x=220. 經檢驗 :x=220是所列分式方程的解 . 答 :A型共享單車的單價是 220元 . 33 000x 27 60010x ?54方法技巧 本題主要考查了分式方程的應用 ,解決問題的關鍵是依據(jù)等量關系列分式方程 .列 分式方程解應用題一定要審清題意 ,找準等量關系 ,要學會分析題意 ,提高理解能力 . 3.(2022常州一模節(jié)選 )解方程 . ? =1? . 2 2xx ? 12 x?解析 去分母 ,得 2x=(x2)+1,解得 x=1, 經檢驗 ,x=1是原方程的解 . 4.(2022南京一模 ,17)解方程 ? =? . 11x ? 2 3x ?解析 方程兩邊同乘 (x1)(x+3),得 x+3=2(x1), 解得 x=5. 檢驗 :當 x=5時 ,(x1)(x+3)≠ 0, ∴ x=5是原方程的解 . 5.(2022南京一模 )某園林隊計劃由 6名工人對 180平方米的區(qū)域進行綠化 ,由于施工時增加了 2 名工人 ,結果比原計劃提前 3小時完成任務 。當 Δ=0時 ,方程有兩個相等的實數(shù)根 。 C項 ,x2+12x+36=0,∵ Δ=1224136=0, ∴ 方程有兩個相等的實數(shù)根 。 基礎題組 三年模擬 考點 1 一元二次方程的解法及應用 1.(2022南京建鄴一模 ,9)若關于 x的一元二次方程 x2kx2=0有一個根是 1,則另一個根是 . 答案 2 解析 把 x=1代入方程 x2kx2=0,得 k=1,則方程為 x2+x2=0,根據(jù)根與系數(shù)的關系 ,得 x1+x2=1, ∴ 另一個根是 2. 2.(2022鹽城東臺一模 ,11)若關于 x的一元二次方程 (k1)x2+xk2=0的一個根為 1,則 k的值為 . 答案 0 解析 ∵ x=1是 (k1)x2+xk2=0的根 , ∴ k1+1k2=0,解得 k=0或 1,∵ k1≠ 0, ∴ k≠ 1,∴ k=0. 考點 2 一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系 1.(2022蘇州常熟一模 ,5)關于 x的方程 (m1)x22x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根 ,則實數(shù) m的取值范 圍是 ? ( ) 2 ≤ 2 2且 m≠ 1 2且 m≠ 1 答案 C ∵ 關于 x的方程 (m1)x22x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根 , ∴ ? 解得 m2且 m≠ 1. 故選 C. 21 0,( 2) 4( 1) 0,mΔ m???? ? ? ? ? ??易錯警示 本題考查了一元二次方程根的判別式以及一元二次方程的定義 ,解題時要考慮一 元二次方程二次項系數(shù)不為零 . 2.(2022淮安一模 )下列選項中的方程有兩個相等的實數(shù)根的是 ( ) +x+1=0 +2x+1=0 +12x+36=0 +x2=0 答案 C A項 ,x2+x+1=0,∵ Δ=12411=30,∴ 方程無實數(shù)根 。 (2)若甲、乙兩隊平均每天筑路公里數(shù)之比為 5∶ 8,求乙隊平均每天筑路多少公里 . 43解析 (1)乙隊筑路的總公里數(shù) :60? =80(公里 ). (2)設甲隊平均每天筑路 5x公里 ,則乙隊平均每天筑路 8x公里 , 根據(jù)題意 ,得 ? 20=? , 解得 x=? , 經檢驗 ,x=? 是原方程的解且符合題意 . ∴ 乙隊平均每天筑路 ? 8=? (公里 ). 答 :乙隊平均每天筑路 ? 公里 . 43605 x 808 x110110110 454516.(2022湖南郴州 ,21,8分 )自 2022年 12月啟動“綠茵行動 ,青春聚力”郴州共青林植樹活動以 來 ,某單位籌集 7 000元購買了桂花樹和櫻花樹共 30棵 ,其中購買桂花樹花費 3 000元 .已知桂花 樹比櫻花樹的單價高 50%,求櫻花樹的單價及棵數(shù) . 解析 設櫻花樹的單價為 x元 ,根據(jù)題意 ,得 ? (1分 ) ? +? =30,? (4分 ) 解得 x=200.? (5分 ) 經檢驗 ,x=200是所列分式方程的根且符合題意 ,? (6分 ) 則 ? =? =20.? (7分 ) 答 :櫻花樹的單價是 200元 ,棵數(shù)為 20棵 .? (8分 ) 3 000(1 50% ) x? 7 000 3 000x?7 000 3 000x? 4 0 0 020017.(2022浙江寧波 ,22,10分 )寧波火車站北廣場將于 2022年底投入使用 ,計劃在廣場內種植 A,B 兩種花木共 6 600棵 ,若 A花木數(shù)量是 B花木數(shù)量的 2倍少 600棵 . (1)A,B兩種花木的數(shù)量分別是多少棵 ? (2)如果園林處安排 26人同時種植這兩種花木 ,每人每天能種植 A花木 60棵或 B花木 40棵 ,應分 別安排多少人種植 A花木和 B花木 ,才能確保同時完成各自的任務 ? 解析 (1)設 B花木的數(shù)量是 x棵 ,則 A花木的數(shù)量是 (2x600)棵 , 根據(jù)題意得 x+(2x600)=6 600,? (2分 ) 解得 x=2 400,2x600=4 200. 答 :A花木的數(shù)量是 4 200棵 ,B花木的數(shù)量是 2 400棵 .? (5分 ) (2)設安排 y人種植 A花木 ,則安排 (26y)人種植 B花木 ,根據(jù)題意得 ? =? ,解得 y=14.? (8分 ) 經檢驗 ,y=14是原方程的根 ,且符合題意 . 26y=12. 答 :安排 14人種植 A花木 ,12人種植 B花木 ,才能確保同時完成各自的任務 .? (10分 ) 4 2 0 060y 2 40040(26 )y?18.(2022鎮(zhèn)江 ,19(1),5分 )解方程 :? ? =0. 3x 2 2x ?解析 去分母 , 得 3x+62x=0,? (2分 ) 解得 x=6,? (4分 ) 經檢驗 ,x=6是原方程的解 . 故原方程的解為 x=6.? (5分 ) 19.(2022廣西南寧 ,20,6分 )解方程 :? ? =1. 2xx ? 2 2 4x ?解析 ? ? =1, ? ? =1,? (1分 ) x(x+2)2=(x+2)(x2),? (2分 ) x2+2x2=x24,? (3分 ) 2x=2,? (4分 ) x=1.? (5分 ) 檢驗 :當 x=1時 ,(x+2)(x2)≠ 0, ∴ x=1是原分式方程的解 .? (6分 ) 2xx ? 2 2 4x ?2xx ?2( 2)( 2)xx??20.(2022北京 ,18,5分 )列方程或方程組解應用題 : 小馬自駕私家車從 A地到 B地 ,駕駛原來的燃油汽車所需油費 108元 ,駕駛新購買的純電動汽車 所需電費 27元 .已知每行駛 1千米 ,原來的燃油汽車所需的油費比新購買的純電動汽車所需的 電費多 ,求新購買的純電動汽車每行駛 1千米所需的電費 . 解析 設新購買的純電動汽車每行駛 1千米所需的電費為 x元 . 由題意 ,得 ? =? . 解得 x=. 經檢驗 ,x= ,且符合題意 . 答 :新購買的純電動汽車每行駛 1千米所需的電費為 . 27x ?21.(2022貴州貴陽 ,19,8分 )2022年 12月 26日 ,西南真正意義上的第一條高鐵 —— 貴陽至廣州高 速鐵路將開始試運行 .從貴陽到廣州 ,乘特快列車的行程約為 1 800 km,高鐵開通后 ,高鐵列車的 行程約為 860 km,運行時間比特快列車所用的時間減少了 16 列車平均速度的 ,求特快列車的平均速度 . 解析 設特快列車的平均速度為 x km/h.? (1分 ) 由題意得 ? =? +16,? (4分 ) 解得 x=91.? (6分 ) 經檢驗 ,x=91是所列方程的根 .? (7分 ) 答 :特快列車的平均速度為 91 km/h.? (8分 ) 1 8 0 0x 8602 .5 x22.(2022黑龍江哈爾濱 ,26,8分 )榮慶公司計劃從商店購買同一品牌的臺燈和手電筒 ,已知購買 一個臺燈比購買一個手電筒多用 20元 ,若用 400元購買臺燈和用 160元購買手電筒 ,則購買臺燈 的個數(shù)是購買手電筒個數(shù)的一半 . (1)求購買該品牌一個臺燈、一個手電筒各需要多少元 。二是設未知數(shù) ,注意選擇和題目 中各個量都關系密切的量 ,注意根據(jù)問題情況靈活選擇設法 ,如直接設、間接設 ,設多元等 。 (2)若要使從 A地到 B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過 39元 ,則至少用電行駛多少 千米 ? 解析 (1)設純用電每行駛 1千米所需要的費用為 x元 ,則純燃油每行駛 1千米所需要的費用為 (x +)元 ,根據(jù)題意 ,得 ? =? ,? (2分 ) 解得 x=,經檢驗 x= . 所以 ,每行駛 1千米純用電的費用為 .? (3分 ) (2)純燃油每行駛 1千米所需要的費用為 +=(元 ),從 A到 B的距離為 26247。2.? (6分 ) 把 |m|=2代入原方程 ,得 x25x+4=0,∴ x1=1,x2=4. ∴ m的值為 177。4.∴ m=? 或 m=? . 52 3212.(2022河南 ,19,9分 )已知關于 x的一元二次方程 (x3)(x2)=|m|. (1)求證 :對于任意實數(shù) m,方程總有兩個不相等的實數(shù)根 。m=14m≥ 0,解得 m≤ ? .故選 D. 145.(2022浙江寧波 ,9,4分 )已知命題“關于 x的一元二次方程 x2+bx+1=0,當 b0時必有實數(shù)解” ,能 說明這個命題是假命題的一個反例可以是 ? ( ) =1 =2 =2 =0 答案 A Δ=b24,由于當 b=1時 ,滿足 b0,而 Δ0,方程沒有實數(shù)解 ,所以當 b=1時 ,能說明這個 命題是假命題 .故選 A. 6.(2022河南 ,6,3分 )一元二次方程 2x25x2=0的根的情況是 ( ) 答案 B Δ=(5)242(2)=25+16=410,所以該一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根 ,故選 B. 7.(2022鎮(zhèn)江 ,7,2分 )關于 x的一元二次方程 2x23x+m=0有兩個相等的實數(shù)根 ,則實數(shù) m= . 答案 ? 98解析 若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 ,則 Δ=(3)242m=0,即 m=? . 98解題關鍵 本題考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)的值 .掌握一元二次方程根與判別 式的關系是解題關鍵 . 8.(2022北京 ,14,3分 )關于 x的一元二次方程 ax2+bx+? =0有兩個相等的實數(shù)根 ,寫出一組滿足條 件的實數(shù) a,b的值 :a= ,b= . 14答案 1。選 項 C,Δ=80,方程無實數(shù)根 。實際解題過程中 ,用以上三種方 法不好解時 ,再選用公式法 .在解一元二次方程時要根據(jù)一元二次方程的特點 ,選擇適合的解法 . 考點 2 一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關系 1.(2022河南 ,7,3分 )下列一元二次方程中 ,有兩個不相等實數(shù)根的是 ? ( ) +6x+9=0 =x +3=2x D.(x1)2+1=0 答案 B 選項 A,Δ=0,方程有兩個相等實數(shù)根 。配方法通常適用于解二次 項系數(shù)化為 1后 ,一次項系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程 。 (2)如果該養(yǎng)殖戶第 3年的 ? 為 ,求可變成本平均每年增長的百分率 x. ????養(yǎng) 殖 成 本解析 (1)(1+x)2.? (4分 ) (2)根據(jù)題意得 4+(1+x)2=, 解這個方程得 x1=,x2=(不合題意 ,舍去 ).=10%. 答 :可變成本平均每年增長的百分率是 10%.? (8分 ) 9.(2022重慶 ,23,10分 )為豐富居民業(yè)余生活 ,某居民區(qū)組建籌委會 ,該籌委會動員居民自愿集資 建立一個書刊閱覽室 .經預算 ,一共需要籌資 30 000元 ,其中一部分用于購買書桌、書架等設施 , 另一部分用于購買書刊 . (1)籌委會計劃 ,購買書刊的資金不少于購買書桌、書架等設施資金的 3倍 ,問最多用多少資金 購買書桌、書架等設施 ? (2)經初步統(tǒng)計 ,有 200戶居民自愿參與集資 ,那么平均每戶需集資 150元 .鎮(zhèn)政府了解情況后 ,贈 送了一批閱覽室設施和書籍 ,這樣 ,只需參與戶共集資 20 000元 .經籌委會進一步宣傳 ,自愿參與