【正文】 的根是 ? ( ) =0,x2=2 =1,x2=2 =1,x2=2 =0,x2=2 答案 D x22x=0,x(x2)=0,解得 x1=0,x2=2,故選 D. 5.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )一元二次方程 x28x1=0配方后可變形為 ? ( ) A.(x+4)2=17 B.(x+4)2=15 C.(x4)2=17 D.(x4)2=15 答案 C 變形得 x28x=1,x28x+16=1+16,(x4)2=17,故選 C. 6.(2022天津 ,10,3分 )已知一個表面積為 12 dm2的正方體 ,則這個正方體的棱長為 ? ( ) dm B.? dm C.? dm dm 2 6答案 B 設(shè)這個正方體的棱長為 x dm,由已知得 6x2=12,解得 x=? (負值舍去 ),故這個正方體 的棱長是 ? B. 227.(2022安徽 ,6,4分 )我省 2022年的快遞業(yè)務(wù)量為 ,受益于電子商務(wù)發(fā)展和法治環(huán)境改善 等多重因素 ,快遞業(yè)迅猛發(fā)展 ,2022年增速位居全國第一 .若 2022年的快遞業(yè)務(wù)量達到 , 設(shè) 2022年與 2022年這兩年的年平均增長率為 x,則下列方程正確的是 ? ( ) (1+x)= (1+2x)= (1+x)2= (1+x)+(1+x)2= 答案 C 2022年的業(yè)務(wù)量為 ,則 2022年的業(yè)務(wù)量為 (1+x)億件 ,2022年的業(yè)務(wù)量為 (1+x)2億件 ,故選 C. 8.(2022湖北黃岡 ,12,3分 )一個三角形的兩邊長分別為 3和 6,第三邊長是方程 x210x+21=0的根 , 則三角形的周長為 . 答案 16 解析 ∵ x210x+21=(x3)(x7)=0, ∴ x1=3,x2=7, ∵ 3+3=6,∴ 3不能作為該三角形的第三邊長 , ∴ 三角形的第三邊長為 7, ∴ 三角形的周長為 3+6+7=16. 9.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)有兩個實數(shù)根 x1,x2, 請你用配方法探索有實數(shù)根的條件 ,并推導出求根公式 ,證明 x1? . 當 b24ac0時 ,x1=? ,x2=? , x1 當 b24ac=0時 ,x1=x2=? ,x1x2=? . ca解題關(guān)鍵 正確解決本題的關(guān)鍵是要通過求根公式進行驗證 ,同時要具有計算含字母系數(shù)的 方程的能力 . 思路分析 本題需要借助配方法解含字母系數(shù)的一元二次方程 ,同時借助求根公式驗證推導 是否正確 . 10.(2022遼寧沈陽 ,21,10分 )某公司今年銷售一種產(chǎn)品 ,1月份獲得利潤 20萬元 ,由于產(chǎn)品暢銷 ,利 潤逐月增加 ,3月份的利潤比 2月份的利潤增加 ,假設(shè)該產(chǎn)品利潤每月的增長率相同 ,求 這個增長率 . 解析 設(shè)這個增長率為 x. 依題意得 20(1+x)220(1+x)=, 解得 x1=,x2=(不合題意 ,舍去 ).=20%. 答 :這個增長率為 20%. 考點 2 一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系 1.(2022甘肅蘭州 ,6,4分 )如果一元二次方程 2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根 ,那么實數(shù) m的取 值范圍為 ? ( ) ? ? =? =? 98 89 98 89答案 C 因為一元二次方程 2x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根 ,所以 b24ac=98m=0,解得 m=? , 故選 C. 98思路分析 一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根 ,則判別式 Δ=0,列出關(guān)于 m的方程 ,解方程即可 . 方法規(guī)律 對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0),當 b24ac0時 ,一元二次方程有兩個不相等的 實數(shù)根 。當 b24ac0時 ,一元二次方程沒有實 數(shù)根 . 2.(2022福建福州 ,12,3分 )下列選項中 ,能使關(guān)于 x的一元二次方程 ax24x+c=0一定有實數(shù)根的是 ? ( ) 0 =0 0 =0 答案 D 若一元二次方程 ax24x+c=0有實數(shù)根 , 則 Δ=(4)24ac=164ac≥ 0,且 a≠ 0. ∴ ac≤ 4,且 a≠ 0. a0,則當 a=1,c=5時 ,ac=54,故此選項錯誤 。 c0,則當 a=1,c=5時 ,ac=54,故此選項錯誤 。 (2)若方程有兩個相等的實數(shù)根 ,寫出一組滿足條件的 a,b的值 ,并求此時方程的根 . 解析 (1)依題意 ,得 Δ=(a+2)24a=a2+40. 故方程有兩個不相等的實數(shù)根 . (2)由題意可知 ,a≠ 0,Δ=b24a=0. 答案不唯一 ,如 :當 b=2,a=1時 ,方程為 x2+2x+1=0, ∴ (x+1)2=0, ∴ x1=x2=1. 8.(2022北京 ,20,5分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m21=0有兩個不相等的實數(shù)根 . (1)求 m的取值范圍 。? .經(jīng)檢驗 ,x=1177。 (2)當 x=4時 ,解方程①得 m=5。(x1)≠ 0,所以 ? 解得 k ? ,且 k≠ k? ,且 k≠ 1. 1 2 0,(1 2 1)(1 2 1) 0,kkk???? ? ? ? ? ??12 12評析 本題主要考查分式方程的解法、不等式組的解法 ,屬中等難度題 . 10.(2022湖北黃岡 ,18,6分 )黃麻中學為了創(chuàng)建全省“最美書屋” ,購買了一批圖書 ,其中科普類 圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格多 5元 .已知學校用 12 000元購買的科普類 圖書的本數(shù)與用 9 000元購買的文學類圖書的本數(shù)相等 ,求學校購買的科普類圖書和文學類圖 書平均每本的價格各是多少元 . 解析 設(shè)文學類圖書平均每本的價格為 x元 ,則科普類圖書平均每本的價格為 (x+5)元 ,依題意 可列方程 : ? =? .? (3分 ) 解得 x=15.? (4分 ) 經(jīng)檢驗 ,x=15是原分式方程的解且符合題意 .? (5分 ) x+5=15+5=20. 答 :科普類圖書和文學類圖書平均每本的價格分別為 20元和 15元 .? (6分 ) 12 0005x ? 9 0 0 0x11.(2022山西 ,22,9分 )某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為 46 000平方米 ,施工隊在綠化 了 22 000平方米后 ,將每天的工作量增加為原來的 ,結(jié)果提前 4天完成了該項綠化工程 . (1)該項綠化工程原計劃每天完成多少平方米 ? (2)該項綠化工程中有一塊長為 20米 ,寬為 8米的矩形空地 ,計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠 地 ,它們的面積之和為 56平方米 ,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道 (如圖所示 ),問 人行通道的寬度是多少米 ? ? ? 解析 (1)設(shè)該項綠化工程原計劃每天完成 x平方米 ,? (1分 ) 根據(jù)題意 ,得 ? ? =4.? (2分 ) 整理 ,得 6x=12 000,解得 x=2 000.? (3分 ) 經(jīng)檢驗 ,x=2 000是原方程的解 .? (4分 ) 答 :該項綠化工程原計劃每天完成 2 000平方米 .? (5分 ) (2)設(shè)人行通道的寬度是 y米 ,根據(jù)題意 ,得 ? (6分 ) (203y)(82y)=56.? (7分 ) 整理 ,得 3y232y+52=0, 解得 y1=2,y2=? (不合題意 ,舍去 ). ? (8分 ) 答 :人行通道的寬度是 2米 .? (9分 ) 46 000 22 000x? 46 000 22 ?263C組 教師專用題組 考點 1 一元二次方程的解法及應(yīng)用 1.(2022寧夏 ,7,3分 )如圖 ,某小區(qū)有一塊長為 18 m,寬為 6 m的矩形空地 ,計劃在其中修建兩塊相 同的矩形綠地 ,它們的面積之和為 60 m2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道 .若設(shè) 人行通道的寬度為 x m,則可以列出關(guān)于 x的方程是 ? ( ) ? +9x8=0 =0 +8=0 +8=0 答案 C 由題意得 (183x)(62x)=60,化簡得 x29x+8=0. 2.(2022杭州 ,7,3分 )某景點的參觀人數(shù)逐年增加 ,據(jù)統(tǒng)計 ,2022年為 ,2022年為 人次 ,設(shè)參觀人次的年平均增長率為 x,則 ? ( ) (1+x)= (1x)= (1+x)2= [(1+x)+(1+x)2]= 答案 C 根據(jù)“ 2022年的人次 (1+年平均增長率 )2=2022年的人次”列方程得 (1+x)2=16. 8,此題選 C. 解題關(guān)鍵 確定等量關(guān)系是解決此類題目的關(guān)鍵 . 3.(2022陜西 ,8,3分 )若 x=2是關(guān)于 x的一元二次方程 x2? ax+a2=0的一個根 ,則 a的值為 ? ( ) 4 4 4 4 52答案 B 把 x=2代入一元二次方程 x2? ax+a2=0中得 a2+5a+4=0,解得 a=1或 a= B. 524.(2022貴州遵義 ,15,4分 )2022年 1月 20日遵義市政府工作報告公布 :2022年全市生產(chǎn)總值約為 1 585億元 ,經(jīng)過連續(xù)兩年增長后 ,預(yù)計 2022年將達到 2 180億元 .設(shè)平均每年增長的百分率為 x,可 列方程為 . 答案 1 585(1+x)2=2 180 解析 平均每年增長的百分率為 x,則 2022年全市生產(chǎn)總值為 1 585(1+x)億元 ,2022年全市生產(chǎn) 總值為 1 585(1+x)每減少 1盆 ,盆景的平均每盆利潤增加 2元 。 (2)當 x取何值時 ,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤 W最大 ?最大總利潤是多少 ? 解析 (1)W1=(50+x)(1602x)=2x2+60x+8 000, W2=[100(50+x)]19=(50x)19=19x+950.? (6分 ) (2)W=W1+W2=2x2+41x+8 950=2? +? . ∵ x取整數(shù) ,∴ 當 x=10時 ,總利潤 W最大 ,最大總利潤是 9 160元 .? (12分 ) 2414x???????73 2818思路分析 (1)根據(jù)題意分別列出 W1,W2關(guān)于 x的函數(shù)表達式 。? ,所以原方程的解是 x1=1+? ,x2=1? .? (8分 ) 5 5 58.(2022南京 ,22,8分 )某養(yǎng)殖戶每年的養(yǎng)殖成本包括固定成本和可變成本 ,其中固定成本每年均 為 4萬元 ,可變成本逐年增長 .已知該養(yǎng)殖戶第 1年的可變成本為 .設(shè)可變成本平均每年 增長的百分率為 x. (1)用含 x的代數(shù)式表示第 3年的可變成本為 萬元 。150? =20 000.? (8分 ) 設(shè) x=a%,則 3(1+x)? =2,整理得 ,10x2+x3=0, 解得 x1=(舍 ),x2=,? (9分 ) ∴ a%=,∴ a=50.? (10分 ) 101%9 a???????101 9 x???????10.(2022甘肅蘭州 ,21(2),5分 )解方程 :2x24x1=0. 解析 這里 a=2,b=4,c=1. ∴ Δ=b24ac=(4)242(1)=240,? (2分 ) ∴ x=? =? ,? (4分 ) 即 x1=? ,x2=? .? (5分 ) 4 2 422? ? 262?262? 262?方法規(guī)律 一元二次方程常見的解法 :直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法 .一般情 況下 ,直接開平方法適用于解形如 (x+m)2=n(n≥ 0)的一元二次方程 。當一元二次方程的一邊為 0,而另一邊易于 分解成兩個一次因式的乘積時 ,我們就用分解因式的方法來解 。選項 B,Δ=10,方程有兩個不相等實數(shù)根 。選項 D,(x1)2=1無實數(shù)根 ,故選 B. 2.(2022四川成都 ,8,3分 )分式方程 ? +? =1的解是 ? ( ) =1 =1 =3 =3 1x x? 1 2x ?答案 A ? +? =1, (x+1)(x2)+x=x(x2), x2x2+x=x22x, x=1, 檢驗 ,當 x=1時 ,x(x2)≠ 0. 所以 x=1是原分式方程的解 .故選 A. 1x x? 1 2x ?3.(2022河北 ,14,2分 )a,b,c為常數(shù) ,且 (ac)2a2+c2,則關(guān)于 x的方程 ax2+bx+c=0根的情況是 ? ( ) 0 答案 B 由 (ac)2a2+c2,得 a22ac+c2a2+c2,即 2ac0,所以 4ac0. 又因為 b2≥ 0,所以 Δ=b24ac0,所以方程有兩個不相等的實數(shù)根 . 4.(2022寧夏 ,5,3分 )關(guān)于 x的一元二次方程 x2+x+m=0有實數(shù)根 ,則 m的取值范圍是 ? ( ) ≥ ? ≤ ? ≥ ? ≤ ?