【正文】 14 14 14 14答案 D 由題意知 ,Δ=b24ac=12411(滿足 a=b2(a≠ 0)即可 ) 解析 ∵ 方程為一元二次方程 ,且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 , ∴ a≠ 0,Δ=b2a=0.∴ a=b2(a≠ 0).例如 a =1,b= . 9.(2022內(nèi)蒙古包頭 ,15,3分 )已知關(guān)于 x的一元二次方程 x2+? x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 , 則 k的取值范圍是 . 1k?答案 k≥ 1 解析 由題意知 Δ=(? )241(1)=k1+4=k+30,∴ k ∵ k1≥ 0,即 k≥ 1,∴ k≥ 1. 1k?10.(2022云南 ,18,6分 )某社區(qū)積極響應(yīng)正在開展的“創(chuàng)文活動(dòng)” ,組織甲、乙兩個(gè)志愿工程隊(duì) 對(duì)社區(qū)的一些區(qū)域進(jìn)行綠化改造 .已知甲工程隊(duì)每小時(shí)能完成的綠化面積是乙工程隊(duì)每小時(shí) 能完成的綠化面積的 2倍 ,并且甲工程隊(duì)完成 300平方米的綠化面積比乙工程隊(duì)完成 300平方米 的綠化面積少用 3小時(shí) .乙工程隊(duì)每小時(shí)能完成多少平方米的綠化面積 ? 解析 設(shè)乙工程隊(duì)每小時(shí)能完成的綠化面積為 x m2,則甲工程隊(duì)每小時(shí)能完成的綠化面積為 2 x m2,根據(jù)題意得 ? ? =3.? (3分 ) 由 ? ? =3得 ? =1,解得 x=50. 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=50是 ? ? =3的解 ,且符合題意 . 所以 ,乙工程隊(duì)每小時(shí)能完成的綠化面積為 50 m2.? (6分 ) 300x 3002 x300x 3002 x 50x300x 3002 x11.(2022福建福州 ,20,8分 )已知關(guān)于 x的方程 x2+(2m1)x+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,求 m的值 . 解析 ∵ 關(guān)于 x的方程 x2+(2m1)x+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 ,∴ Δ=(2m1)2414=0. ∴ 2m1=177。 (2)若方程的一個(gè)根是 1,求 m的值及方程的另一個(gè)根 . 解析 (1)證明 :原方程可化為 x25x+6|m|=0.? (1分 ) ∴ Δ=(5)241(6|m|)=2524+4|m|=1+4|m|.? (3分 ) ∵ |m|≥ 0,∴ 1+4|m|0. ∴ 對(duì)于任意實(shí)數(shù) m,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 .? (4分 ) (2)把 x=1代入原方程 ,得 |m|=2,∴ m=177。2,方程的另一個(gè)根是 4.? (9分 ) 考點(diǎn) 3 分式方程的求解及應(yīng)用 1.(2022河南 ,4,3分 )解分式方程 ? 2=? ,去分母得 ( ) (x1)=3 (x1)=3 =3 +2=3 1 1x ? 31 x?答案 A 分式方程兩邊同乘 (x1),得 12(x1)= A. 2.(2022新疆 ,8,5分 )某工廠現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多生產(chǎn) 40臺(tái)機(jī)器 ,現(xiàn)在生產(chǎn) 600臺(tái)機(jī)器所需的 時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn) 480臺(tái)機(jī)器所用的時(shí)間相同 .設(shè)原計(jì)劃每天生產(chǎn) x臺(tái)機(jī)器 ,根據(jù)題意 ,下面列出 的方程正確的是 ? ( ) A.? =? B.? =? C.? =? D.? =? 60040x ? 480x 60040x ? 480x600x 48040x ? 600x 48040x ?答案 B 原計(jì)劃平均每天生產(chǎn) x臺(tái)機(jī)器 ,則現(xiàn)在每天生產(chǎn) (x+40)臺(tái)機(jī)器 ,根據(jù)“現(xiàn)在生產(chǎn) 600臺(tái) 機(jī)器所需的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn) 480臺(tái)機(jī)器所用的時(shí)間相同” ,得 ? =? .故選 B. 60040x ? 480x3.(2022山東青島 ,6,3分 )某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長(zhǎng) 1 200 m的道路 ,由于采用新的施工方式 ,實(shí)際 每天修建道路的速度比原計(jì)劃快 20%,結(jié)果提前 2天完成任務(wù) .若設(shè)原計(jì)劃每天修建道路 x m,則 根據(jù)題意可列方程為 ? ( ) A.? ? =2 B.? ? =2 C.? ? =2 D.? ? =2 1 200(1 20% ) x? 1 2 0 0x 1 200(1 20% ) x? 1 2 0 0x1 2 0 0x 1 200(1 20% ) x? 1 2 0 0x 1 200(1 20% ) x?答案 D 由題意可知原計(jì)劃需 ? 天 ,提高效率后需 ? 天 ,所以可列方程 ? ? = D. 1 2 0 0x 1 200(1 20% ) x? 1 2 0 0x1 200(1 20% ) x?4.(2022無錫 ,13,2分 )分式方程 ? =? 的解是 . 4x 3 1x ?答案 x=4 解析 去分母 ,得 4(x1)=3x, 解得 x=4, 經(jīng)檢驗(yàn) x=4是分式方程的解 . 5.(2022浙江溫州 ,14,5分 )方程 ? =? 的根是 . 2x 3 1x ?答案 x=2 解析 ? =? ?3x=2x+2?x=2. 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=2是原方程的根 . ∴ 方程 ? =? 的根是 x=2. 2x 3 1x ?2x 3 1x ?6.(2022山東威海 ,16,3分 )分式方程 ? =? 2的解為 . 13xx ?? 13 x?答案 x=4 解析 去分母 ,得 1x=12(x3), 去括號(hào) ,得 1x=12x+6,解得 x=4, 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=4是原方程的解 . 7.(2022山東濟(jì)南 ,19,3分 )若代數(shù)式 ? 和 ? 的值相等 ,則 x= . 12x ? 321x ?答案 7 解析 根據(jù)題意列方程為 ? =? , 去分母得 3(x2)=2x+1,解得 x=7. 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=7是原分式方程的根 . 1 2x ? 321x ?8.(2022揚(yáng)州 ,24,10分 )動(dòng)車的開通為揚(yáng)州市民的出行帶來了方便 .從揚(yáng)州到合肥 ,路程為 360 km, 某趟動(dòng)車的平均速度比普通列車快 50%,所需時(shí)間比普通列車少 1小時(shí) ,求該趟動(dòng)車的平均速 度 . 解析 設(shè)普通列車的平均速度為 x km/h. 根據(jù)題意 ,得 ? 1=? ,解得 x=120, 經(jīng)檢驗(yàn) x=120是原分式方程的解 . (1+50%)x=(1+50%)120=180. 答 :該趟動(dòng)車的平均速度為 180 km/h. 360x 360(1 50% ) x?9.(2022寧夏 ,22,6分 )某種型號(hào)油電混合動(dòng)力汽車 ,從 A地到 B地燃油行駛純?nèi)加唾M(fèi)用為 76元 ,從 A 地到 B地用電行駛純用電費(fèi)用為 26元 .已知每行駛 1千米 ,純?nèi)加唾M(fèi)用比純用電費(fèi)用多 . (1)求每行駛 1千米純用電的費(fèi)用 。=100(千 米 ),設(shè)用電行駛 y千米 ,則燃油行駛 (100y)千米 . 根據(jù)題意 ,得 +(100y)≤ 39,? (5分 ) 解得 y≥ 74,即至少用電行駛 74千米 .? (6分 ) ? 26x評(píng)析 本題考查分式方程、一元一次不等式的應(yīng)用 .應(yīng)注意檢驗(yàn)分式方程的解 .屬易錯(cuò)題 . 10.(2022南京 ,18,7分 )解方程 ? =? . 23x ? 3x解析 方程兩邊同乘 x(x3),得 2x=3(x3).解得 x=9. 檢驗(yàn) :當(dāng) x=9時(shí) ,x(x3)≠ 0. 所以 ,原方程的解為 x=9.? (7分 ) 11.(2022福建龍巖 ,19,8分 )解方程 :1+? =? . 32xx ? 6 2x ?解析 方程兩邊同時(shí)乘 (x2),得 (x2)+3x=6,? (2分 ) 4x2=6,? (4分 ) x=2.? (6分 ) 檢驗(yàn) :當(dāng) x=2時(shí) ,x2=0, ∴ x=2不是原分式方程的解 ,? (7分 ) ∴ 原分式方程無解 .? (8分 ) 12.(2022寧夏 ,17,6分 )解方程 :? ? =1. 1xx ? 2211xx ??解析 方程兩邊同乘 (x21),得 x(x+1)(2x1)=x21,? (3分 ) 解得 x=2.? (5分 ) 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=2是原方程的根 .? (6分 ) 13.(2022遼寧沈陽 ,20,10分 )高速鐵路列車已成為中國(guó)人出行的重要交通工具 ,其平均速度是普 通鐵路列車平均速度的 3倍 ,同樣行駛 690 km,高速鐵路列車比普通鐵路列車少運(yùn)行了 h,求 高速鐵路列車的平均速度 . 解析 設(shè)高速鐵路列車的平均速度為 x km/h, 根據(jù)題意 ,得 ? =? +. 解這個(gè)方程 ,得 x=300. 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=300是所列方程的根 . 答 :高速鐵路列車的平均速度為 300 km/h. 69013 x690x14.(2022山東聊城 ,23,8分 )在“母親節(jié)”前夕 ,某花店用 16 000元購進(jìn)第一批禮盒鮮花 ,上市后 很快預(yù)售一空 .根據(jù)市場(chǎng)需求情況 ,該花店又用 7 500元購進(jìn)第二批禮盒鮮花 .已知第二批所購 鮮花的盒數(shù)是第一批所購鮮花的盒數(shù)的 ? ,且每盒鮮花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少 10元 .問第二 批鮮花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元 ? 12解析 設(shè)第二批鮮花的進(jìn)價(jià)是 x元 /盒 ,根據(jù)題意 ,得 ? =? ? ,? (4分 ) 解這個(gè)方程 ,得 x=150.? (6分 ) 經(jīng)檢驗(yàn)可知 ,x=150是原方程的根 ,并符合題意 .? (7分 ) 所以第二批鮮花每盒的進(jìn)價(jià)是 150元 .? (8分 ) 7 5 0 0x 1216 00010x ?評(píng)析 在列方程解決實(shí)際問題時(shí) ,一是找到題目中的相等關(guān)系 。三 是求分式方程的根 ,要驗(yàn)根 ,根既要使方程本身有意義 ,又要符合實(shí)際意義 . 15.(2022廣州 ,21,12分 )甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)均參與某筑路工程 ,先由甲隊(duì)筑路 60公里 ,再由乙隊(duì) 完成剩下的筑路工程 ,已知乙隊(duì)筑路總公里數(shù)是甲隊(duì)筑路總公里數(shù)的 ? 倍 ,甲隊(duì)比乙隊(duì)多筑路 20天 . (1)求乙隊(duì)筑路的總公里數(shù) 。 (2)經(jīng)商談 ,商店給予榮慶公司購買一個(gè)該品牌臺(tái)燈贈(zèng)送一個(gè)該品牌手電筒的優(yōu)惠 ,如果榮慶公 司需要手電筒的個(gè)數(shù)是臺(tái)燈個(gè)數(shù)的 2倍還多 8個(gè) ,且該公司購買臺(tái)燈和手電筒的總費(fèi)用不超過 6 70元 ,那么榮慶公司最多可購買多少個(gè)該品牌臺(tái)燈 ? 解析 (1)設(shè)購買一個(gè)手電筒需要 x元 ,則購買一個(gè)臺(tái)燈需要 (x+20)元 , 根據(jù)題意 ,得 ? =? ? ,? (2分 ) 解得 x=5, 經(jīng)檢驗(yàn) ,x=5是原方程的解 ,? (3分 ) ∴ x+20=25. ∴ 購買一個(gè)臺(tái)燈需要 25元 ,購買一個(gè)手電筒需要 5元 .? (4分 ) (2)設(shè)購買臺(tái)燈 a個(gè) ,則還需購買手電筒 (2a+8a)個(gè) , 由題意得 25a+5(2a+8a)≤ 670,? (6分 ) 解得 a≤ 21.? (7分 ) ∴ 榮慶公司最多可購買 21個(gè)該品牌臺(tái)燈 .? (8分 ) 40020x ? 160x 12A組 2022— 2022年模擬 B項(xiàng) ,4x2+2x+1=0,∵ Δ=22441=120,∴ 方程無實(shí)數(shù)根 。 D項(xiàng) ,x2+x2=0,∵ Δ=1241(2)=90,∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,故選 C. 思路分析 根據(jù)一元二次方程根的判別式 Δ=b24ac與零的大小比較 ,判斷一元二次方程根的 情況 . 3.(2022蘇州昆山一模 )若關(guān)于 x的一元二次方程 kx2+2x1=0有實(shí)數(shù)根 ,則 k的取值范圍是 ? ( ) 1 ≥ 1 1且 k≠ 0 ≥ 1且 k≠ 0 答案 D 由題意得 Δ=224k(1)≥ 0, 解得 k≥ 1, 又 ∵ k≠ 0,∴ k≥ 1且 k≠ D. 易錯(cuò)警示 本題容易忽略二次項(xiàng)系數(shù) k≠ 0. 4.(2022蘇州吳中一模 ,16)如果關(guān)于 x的一元二次方程 k2x2(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 , 那么 k的取值范圍是 . 答案 k? 且 k≠ 0 14解析 根據(jù)題意得 k2≠ 0且 Δ=(2k+1)24k20,解得 k? 且 k≠ 0. 14考查要點(diǎn) 本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠ 0)的根的判別式 Δ= Δ0時(shí) ,方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 。當(dāng) Δ0時(shí) ,方程沒有實(shí)數(shù)根 ,也考查 了一元二次方程的定義 . 5.(2022無錫一模 ,13)若 x1,x2是方程 x2+2x3=0的兩根 ,則 x1+x2= . 答案 2 解析 ∵ x1,x2是方程 x2+2x3=0的兩根 , ∴ x1+x2=2. 6.(2022蘇州一模 ,15)關(guān)于 x的一元二次方程 x22x+m1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,則 m的取值范圍是 . 答案 m≤ 2 解析 此一元二次方程根的判別式 =(2)241(m1)=44(m1)=84m, 由該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 ,得 84m≥ 0, 解這個(gè)不等式 ,得 m≤ 2. 考點(diǎn) 3 分式方程的求解及應(yīng)用 1.(2022宿遷泗陽一模 ,17)若關(guān)于 x的分式方程 ? +3=? 無解 ,則實(shí)數(shù) m的值為 . 71x ? 1mxx ?答案 3或 7 解析 去分母得 7+3(x1)=mx, 整理 ,得 (m3)x=4, 當(dāng)整式方程無解時(shí) ,m3=0