【正文】 2022/6/2 97 例 1 設(shè) S={a,b,c,d}， 。 定義 設(shè) π1, π2?Sn， Sn上的二元運算 ο和◇ ，使得 π1οπ2和 π2 ◇ π1都表示對 S的元素先應(yīng)用置換 π2接著再應(yīng)用置換 π1所得到的置換。 所以集合 S上的等價關(guān)系 R，決定了 S的一個劃分，該劃分的每一塊都是一個等價類。 五、定理：集合 S上的等價關(guān)系 R，決定了 S的一個劃分，該劃分就是商集 S /R。 傳遞性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對于任意 x， y， z?X，每當(dāng) x， y?R， y， z?R時就有 x， z?R，則稱 R是傳遞的。 自反性： 設(shè) R是集合 X上的二元關(guān)系，如果對于每一個 x?X， 有 x， x?R，則稱 R是自反的。 二、若集合 S的階為 n，則 S上的雙射有 n！個，即 S上有 n！個不同置換。 ） 在正式討論置換群以前 ， 需要先作些必要的準(zhǔn)備 。 2022/6/2 93 本節(jié)里 ， 將討論群論中一種常見而又重要的群：置換群 。 2022/6/2 92 又如整數(shù)加群 I， +，任取 i∈ I， 若 i0，則 i=1+1+…+1=1 i（ i個 1相加） 若 i=0，因為 0是單位元，由定義，有 0=10 ； 若 i0，設(shè) i=j i=j=(1)+(1)+…+( 1) =(1)j=(11)j=1j=1i （ j個 1相加） 所以，群的 I， +，任何元素都可以寫成 1的冪，即是循環(huán)群，1是循環(huán)群的生成元。 在這個群中， 由于 γ * γ= γ2=β， γ3=δ， γ4=α 以及 δ * δ = δ2=β ， δ3=γ， δ4=α 故群 G,* 是有 γ或 δ 生成的，因此 G,* 是一個循環(huán)群?？梢则炞C運算 *是可結(jié)合的。 * α β γ δ α β γ δ α β γ δ β α δ γ γ δ β α δ γ α β 2022/6/2 91 解：由運算表 ，運算 *是封閉的， α是幺元。 所以 a1 ， a2 ， ... ， an都不相同。 再用反證法證明 a1 ， a2 ， ... ， an互不相同。與 |G|= n矛盾。 2022/6/2 89 證明思路 :先證 a的階為 n 設(shè)對于某個正整數(shù) m,mn,有 am=e。 2022/6/2 88 定義 設(shè) G,?為群， a?G，如果 an= e, 且 n為滿足此式的最小正整數(shù) ,則稱 a 的 階 (order)為 n，如果上述 n不存在時 ,則稱 a有無限階 . 定理 設(shè) G,?為循環(huán)群， a?G是該群的生成元，如果 G的階數(shù)是 n ，即 | G |= n ，則 an = e,且 G={a1, a2, a3,..., an2, an1, an=e} 其中， e是群 G,?的幺元。 2022/6/2 87 定理 設(shè)任何一個循環(huán)群必定是阿貝爾群。 ,300186。 ,180186。 ,60186。 例如， 60186。 但矩陣乘法運算 ο是不可交換的，因此 G, ο是一個不可交換群。 N階單位陣 E是 G中的幺元。 解 任意兩個 n階非奇矩陣相乘后，仍是一個非奇矩陣，所以運算 ο是封閉的。 此題的推論：若群中每個元素的逆元都是它自己，則該群必是可交換群。 證明： x*x=e說明 G中的 每一個元素 x都是自身的逆元 ，所以 G， *是一個群。 由運算表的對稱性知運算★是可交換的，因此 R，★ 是阿貝爾群。 等于原來的狀態(tài)，就看作沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)。 }表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè) ★ 是 R上的二元運算，對于 R中任意兩個元素 a和 b， a★ b表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn) a和 b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。 ,240176。 ,120176。 2022/6/2 81 再看 54節(jié)例題 1 【 例 】 設(shè) R={0176。 由表 ，可知復(fù)合運算 o是可交換的。 2022/6/2 80 解 對于 F中任意兩個函數(shù)的復(fù)合，可以由表 o f 0 f 1 f 2 f 3 f 0 f 1 f 2 f 3 f 0 f 1 f 2 f 3 f 1 f 2 f 3 f 0 f 2 f 3 f 0 f 1 f 3 f 0 f 1 f 2 可見，復(fù)合運算 o關(guān)于 F是封閉的，并且是可結(jié)合的。加群的幺元常用 0來表示， 元素 x的逆元常用 x來表示。 2022/6/2 78 一、阿貝爾群（ Abel 群） 定義 設(shè) G,?為一群 ,若 ? 運算滿足 交換律 ,則稱 G為 交換群 或 阿貝爾群 (Abel group)。 4） 結(jié)合律是保持的 2022/6/2 77 【 例 】 設(shè) H,*和 K,*都是群 G,*的子群，試證明H∩K,*也是 G,*的子群。 2）再證 S中的每一個元素都有逆元 對任意元素 a?S中， 因為 e?S， 所以 e△ a1?S ， 即 a1?S 。 V2022/6/2 76 定理 設(shè) G,△ 為群 ,S為 G的非空子集 ,如果對于任意元素a,b?S有 a△ b1?S,那么 , S,△ 必定是 G, △ 的子群。 所以， G4， ? 是一個群。 因為 xi yi ?{0,1} 所以 X ? Y ?G4 因為 (xi ? yi) ? zi=xi ? (yi ? zi) 所以 (X ? Y) ? Z=X ?(Y? Z) 0,0,0,0是幺元。 證明 {0,0,0,0,1,1,1,1}, ? 是群 G4, ? 的子群。 所以 b–1= b。 如果 j–i＞ 1， 那么 bj–i=b*bj–i–1和 bj–i=bj–i–1*b， 即 bj–i–1是 b的逆元 ， b–1= bj–i–1且 bj–i–1?A。 且這個幺元也在 G的非空子集 A中 。 ⑴ 證明 A中有幺元 e。 證明： ?G,*?是群 ， 則 ?G,*?是半群 ， 因為 運算 *在 A上封閉 ， 所以 ?A,*?是半群 。 (4)對于任意的 x?IE，必有 n使得 x=2n，而 x=2n=2(n)， n?I 所以 x?IE，而 x+(x)=0，因此， IE,+是 I,+的一個子群。 (3)I， +中的幺元 0也在 IE中。 2022/6/2 71 【 例 】 I,+是一個群，設(shè) IE={x|x=2n,n?I}， 證明 IE,+是 I,+的一個子群。 定理 設(shè) G,?為群， S,?為 G,?的子群，那么， G,?中的幺元 e必定也是 S,?中的幺元 。 2022/6/2 70 二、子群 定義 設(shè) G， ?為群。 證明 : 因為 e ? e = e ，所以 e是等冪元。 2022/6/2 69 定理 在群 G， ?中，除幺元 e之外，不可能有任何別的等冪元。得出要證的結(jié)論。 再證 G中每一個元素必出現(xiàn)一次 對于元素 a?G的那一行，設(shè) b是 G中的任意一個元素，由于 b=a?（ a1?b） ，所以 b必定出現(xiàn)在對應(yīng)于 a的那一行。 ??????cadbdcba2022/6/2 68 定理 設(shè) G， ?為群，那么，運算表中的每一行或每一列都是群 G的元素的置換。 2022/6/2 67 定義 設(shè) S是一個非空集合，從集合 S到 S的一個雙射稱為 S的一個置換。 證明 : 1）先證解存在性 設(shè) a的逆元 a1，令 x = a1 ? b （構(gòu)造一個解） a?x＝ a? （ a1 ? b ） ＝（ a ? a1 ） ? b ＝ e ? b ＝ b 2）再證解唯一性 若另有解 x1滿足 a? x1 ＝ b ，則 a1 ? （ a? x1）＝ a1 ? b x1 ＝ a1 ? b 2022/6/2 66 定理 設(shè) G， ?為群，那么，對任意 a,b,c?G a?b = a?c 蘊涵 b = c b?a = c?a 蘊涵 b = c G的所有元素都是可約的．因此，群中消去律成立。由群中逆元的唯一性，我們可以有以下幾個定理。那么群中任何元素 x ?G，都有 x ? ? = ? ? x = ? ≠ e， 所以，零元 ?就不存在逆元，與 G， ?是群的假設(shè)矛盾。 證明 : 因當(dāng)群的階為 1時，它的唯一元素是視作幺元 e 。 2022/6/2 63 代數(shù)系統(tǒng)小結(jié) 封閉 G,? 廣群 半群 獨異點 群 結(jié)合 含幺 可逆 G,? 廣群 半群 獨異點 群 2022/6/2 64 定理 設(shè) G， ?為群，那么當(dāng) G ≠{e}時 , G無零元。對于任一 a?A，它的逆元是 a。 解 明顯地，二元運算 +在 I上是封閉的且是可結(jié)合的。 例題 R, ★ 就是一個有限群，且 |R|=6。 2022/6/2 62 定義 設(shè) G,?為一群。 。,180186。,120186。 60186。 0186。 表 2022/6/2 61 對于任意的 a,b,c?R， (a★ b)★ c表示將圖形依次旋轉(zhuǎn) a,b和 c,而 a★ (b★ c)表示將圖形依次旋轉(zhuǎn) b,c和 a,而總的旋轉(zhuǎn)角度都等于 a+b+c(mod 360186。 2022/6/2 60 【 例 】 解：由題意， R上二元運算 ★ 的運算表如表 示。 等于原來的狀態(tài)，就看作沒有經(jīng)過旋轉(zhuǎn)。 }表示在平面上幾何圖形繞形心順時針旋轉(zhuǎn)角度的六種可能情況，設(shè) ★ 是R上的二元運算，對于 R中任意兩個元素 a和 b， a★ b表示平面圖形連續(xù)旋轉(zhuǎn) a和 b得到的總旋轉(zhuǎn)角度。 ,240176。 ,120176。 54 群與子群 2022/6/2 59 【 例 】 設(shè) R={0176。 （ 3） G， ?中有么元 e. （ 4） G， ?中每一元素 x都有逆元 x1。 2022/6/2 57 定理 設(shè) G,*是獨異點 ， ?a,b?G且 a, b均有逆元 ， 則 ⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且 (a*b)–1=b–1*a–1 證明： ⑴ 因 a*a–1=a–1*a =e，故 (a–1)–1=a ⑵ 因 (a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1 =a*e*a–1=a*a–1=e 又 (b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e 故 (a*b)–1=b–1*a–1 2022/6/2 58 一、群 定義 稱代數(shù)結(jié)構(gòu) G,?為 群 (groups),如果 （ 1） G， ?中運算 ?是封閉的。 2022/6/2 56 上例中，如果給定 m=5，那么 +5和 6的