矩陣代數(shù)基礎(chǔ)ppt課件(參考版)
2025-05-04 22:21本頁面
【正文】 解得， λ1=1， λ2=2， λ3=3。 48 （ 3）從 X確定 X1。 一般步驟 ：（ 1）從 （ A λE ) x =0 來確定本征值 λ 1，λ 2， … ， λ n。 47 矩陣的對角化或如何求矩陣的本征值和本征向量 例，將下列矩陣 對角化。一個厄米矩陣總是可以通過酉變換使之對角化；而一個對稱矩陣總是可以通過正交變換使之對角化。 定理 4 假若 X是由矩陣 A的本征向量所組成的矩陣，則相似變換 X1AX必將 產(chǎn)生一個對角矩陣，其對角元為 A的本征值。 46 定理 2 若相似變換的結(jié)果產(chǎn)生一個對角陣，那么，此過程稱為對角化。 定理 1 若 A和 B矩陣是通過相似變換關(guān)聯(lián)的，則其行列式本征值及跡（對角元素之和）應(yīng)是相等的。 由矩陣 A的本征向量所組成的矩陣 X，可用來和AX=λ X 的解結(jié)合而成單個方程： 當(dāng) A是厄米矩陣，則 X當(dāng)然是酉矩陣；如果 A是對稱矩陣，則 X就是正交矩陣。 λi= λi* i=1,2,…,n 若他們的本征向量都是對應(yīng)于不同的本征值，亦即，當(dāng)本征值是非簡并的（ λk λi ），那么本征向量是彼此正交的。每一個本征值 λ i導(dǎo)致相應(yīng)的非零歸一化本征向量 xi 。 為使方程有非平凡解（即排除 xi=0)，本征值 λi必須滿足行列式方程 det(A λE ) =0 該方程通常被稱為矩陣 A的特征方程，它實質(zhì)上是一個 λ的多項式方程，具有 n個根 λ 1， λ 2， … ， λ n。 40 可以用下標(biāo)來區(qū)分方程的幾個解，可將對應(yīng)于不同本征值 λ 1， λ 2， … ， λ n的各本征向量寫作 X1， X2， … ， Xn, 并將方程寫成 Axi=λ xi i=1,2,… ,n 通常需將本征向量歸一化 11211nxxx??????????????12222nxxx??????????????12, ...,nnnnxxx??????????????41 即 i=1,2,…,n 或者 即 這一限制刪減了那些不必要的僅差一個常數(shù)因子的本征向量。方程的解通常有 n個各不相同的 λ 值（稱為本征值）和相應(yīng)的列矩陣 X (稱為本征向量）。 例如 是正交矩陣。 對于實矩陣，判定它是正交矩陣還是酉矩陣的判據(jù)是相同的。 所有酉矩陣都是方陣。 =A1 或者 A=E， A =E 酉矩陣的列（或行）與通常向量空間里的一組正交歸一向量相關(guān)。 （ f）零矩陣 元素全是零的任何矩陣。 所有對稱矩陣必是方陣 1 2 34567 8 9A???????????1 4 7258369A???????????AA?1 2 32 4 5356A?????????33 (e)厄米矩陣 伴隨矩陣（ ）： A的伴隨矩陣是取其轉(zhuǎn)置矩陣的共軛復(fù)量而得，即 例如： 的伴隨矩陣是 厄米矩陣： A= ?A? *AA?214231iiiA e ie??????????213421iieeii?????????????A?A34 亦即， 例如 是厄米矩陣。 （ b）對角矩陣 任何全部非對角元均為零，而全部對角元為非零的方陣陳作對角矩陣。其它表示恒等矩陣的符號是 I和 1，有時被稱為單位矩陣。 29 （ 5） 結(jié)合律及分配律 A(BC)=(AB)C A(B+C)=AB+AC (6)特殊矩陣 （ a）恒等矩陣 對角元素均為 1，非對角元素均為零的矩陣。 (2) 若 Det(A)≠0，則 A必須是方陣。 39。1 2 1 2 2 239。 39。 39。12....... . . . . . . . . . . . . . . ......nnnn n n n nyx A A Ayx A A Ax A A A y??? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???39。 39。 39。1 1 1 1 2 139。 39。 對于且僅僅對于非奇異矩陣，才能 按照下面等式來定義其逆矩陣方法求其逆矩陣 A1 AA1=A1A=E 式中 E是 恒等矩陣 和除法等價的矩陣運算是一個逆矩陣相乘，例如，當(dāng) AB=C ABB1=CB1 AE=CB1 A=CB1 注意： 由于矩陣不一定對易，在等式兩邊同乘另一矩陣時，要左乘，均左乘，要右乘，均右乘。 z1=B11y1 + B12y2 +B13y3 z2=B21y1 + B22y2 +B23y3 z3=B31y1 + B32y2 +B33y3 1 1 1 2 1 32 1 2 2 2 33 1 3 2 3 3B B BB B B BB B B?????????123yYyy???????????123zZzz???????????19 （ 4 ）“除法” 矩陣“除法”如同算符一樣，“除法”只能經(jīng)過一個逆過程來
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1