高等代數(shù)--第三章矩陣(參考版)
2024-10-19 06:33本頁(yè)面
【正文】 ??????????????lAAA00000000000021?),2,1( liA i ??ii nn ?形式為 的矩陣，其中 是 的矩陣，稱(chēng)為 準(zhǔn)對(duì)角矩陣 . 準(zhǔn)對(duì)角矩陣 ??????????????????????????????llBBBBAAAA000000000000,0000000000002121??兩個(gè)有相同分塊、同級(jí)的準(zhǔn)對(duì)角矩陣的運(yùn)算 ? 則 ??????????????????????????????????llllBABABABAAABABAAB000000000000,00000000000022112211?? lAAA , 21 ??????????????????????????????????11211121000000000000000000000000llAAAAAA??如果 都是可逆陣，那么 分塊矩陣的秩 0( ) ( )0Ar r A r BB?? ??????0( ) ( )Ar r A r BCB?? ?????? Back 。其中 ? 首先因?yàn)? |D|=|A||B| 所以 A,B可逆時(shí)， D也可逆。.,2,1(12211rqtpBABABABAClkkqpklqplqpqppq???????????? ? 如 ?????????????????????????21201011012100100001EAEA 其中 ???????????????????????????222112110211140110212301BBBBB????????????????????????????22121211111211222112112120BBABBABBBBBBEAEAB ? 因此 ??????????????????????????????????????? ???114211012101112121111BBA??????????351122121 BBA??????????????????3511114210212301AB ? 用矩陣分塊證明 r(AB) ≤min(r(A),r(B)) ???????????????nmnnmmaaaaaaaaaA???????212222111211???????????????msmmssbbbbbbbbbB???????212222111211?????????????????????????????????????????????????????mnmnnmmmmmnmnnmmBaBaBaBaBaBaBaBaBaBBBaaaaaaaaaAB????????????22112222121121211121212222111211所以 AB的行向量可由 B的行向量線性表出；同理， AB的列向量可由 A的列向量線性表出。我們把一個(gè)大矩陣看成一些小矩陣組成的，就如矩陣是由數(shù)組成一樣。 4 矩陣的等價(jià) ? 矩陣等價(jià)的定義 ? 矩陣等價(jià)的條件 ? 矩陣等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)形 ? 矩陣乘積的秩 矩陣等價(jià)的定義 ? 定義 9：如果矩陣 B 可以從矩陣 A經(jīng)過(guò)一系列的初等變換而得到 , 則稱(chēng)矩陣 A與 B等價(jià) . AB????? 初 等 變 換矩陣等價(jià)的性質(zhì) ? 反身性 : 矩陣 A 與自己等價(jià) ? 對(duì)稱(chēng)性 : A與 B等價(jià) , 則 B與 A等價(jià) ? 傳遞性 : A與 B等價(jià) , B與 C等價(jià) , 則 A 與 C 等價(jià) 矩陣等價(jià)的條件 ? 由矩陣等價(jià)的定義知 矩陣 A 與 B 等價(jià) , 當(dāng)且僅當(dāng) 從而 矩陣 A 與 B 等價(jià)的充分必要條件 是存在初等矩陣 AB????? 初 等 變 換1 2 1 2stB P P P A Q Q Q?12, , , sP P P 12, , , tQ Q Q? 推論 4: 兩個(gè) 矩陣 A和 B等價(jià)的充分必要 條件是存在 m 階可逆矩陣 P 和 n 階可逆矩陣 Q, 使得 B=PAQ ? 推論 5: 兩個(gè) 矩陣 A和 B等價(jià)的充分必要 條件是它們有相同的秩 mn?mn?矩陣乘積的秩 ? 定理 6： np?( ) m i n ( ( ) , ( ) )r A B r A r B?證明： 設(shè)矩陣 A 是 矩陣， B 是 矩陣，設(shè) r(A)=r mn?（ 1）如果 是標(biāo)準(zhǔn)形，那么 A 有 mr行 全為零，所以 AB 至少有 mr 行全為零 ,而 AB 是 m 行矩陣，所以 ()r A B r?rAI?1 1 1 1()rrA B P I Q B P I Q B? ? ? ???11rA P I Q???rP A Q I?（ 2）如果 ,不是標(biāo)準(zhǔn)形，那么存在 m 階 可逆陣 P 和 n 階可逆陣 Q，使得 故有 1rI Q B?rAI?我們把 看作是 與矩陣 的乘積， 所以由 （ 1） 知： 1()rr I Q B r? ?rI1QB?1 1 1( ) rrP I Q B I Q B? ? ?與 等 價(jià)由于 P 是可逆矩陣，所以 從而 1 1 1( ) ( ( ) ) ( )rrr A B r P I Q B r I Q B r? ? ?? ? ?
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