軌跡與方程ppt課件(參考版)
2025-05-06 18:31本頁(yè)面
【正文】 螺旋線的參數(shù)方程為 : x = acos ? y = asin ? z = b? .?vb ?這里當(dāng) ?從 ? 0變到 ? 0 +? 是 , z由 b? 0變到 b? 0+ b? , 即 M點(diǎn)上升的高度與 OM ?轉(zhuǎn)過的角度成正比 . 特別 , 當(dāng) ? = 2? 時(shí) , M點(diǎn)上升高度 h = 2? b, h 在工程上稱 h = 2? b為 螺距 . 例 6 維維安尼曲線 一半徑為 a的球面與一個(gè)直徑等于 球的半徑的圓柱面，如果圓柱面通過球心，則球面與 圓柱面的交線稱為 維維安尼曲線 ， 試寫出其一般方程 和參數(shù)方程。cos?AOM ? = acos? t y = |OM ?| 例 3: 球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32與平面 z = 2的交線是 x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2 一個(gè)圓 , 它的一般方程是 例 4: 方程組 ???????????222222)2()2( ayaxyxaz表示怎樣的曲線 ? 解 : 方程 222 yxaz ???方程 . 222 )2()2(ayax ???它的準(zhǔn)線 xOy面上的圓 , 圓心在點(diǎn) .2),0,2( aa 半徑為所以方程組表示上述半球面與圓柱面的交線 . （維維安尼曲線 Viviani） 表示球心在原點(diǎn) O, 半徑為 a的 上半球面 . 表示母線平行于 z 軸的圓柱面 二、空間曲線的參數(shù)方程 將曲線 C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) x, y, z都表示成一個(gè)參數(shù) t的函數(shù) . x = x (t) y = y (t) (2) z = z (t) 當(dāng)給定 t = t1時(shí) , 就得到 C上一個(gè)點(diǎn) (x, y, z), 隨著 t的變動(dòng)便可得曲線 C上的全部點(diǎn) . 方程組 (2)叫做空間曲線的參數(shù)方程 . 例 5: 如果空間一點(diǎn) M 在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 ? 繞 z 軸旋轉(zhuǎn) , 同時(shí)又以線速度 v 沿平行于 z 軸的正方向上升 (其中 ?,v都是常數(shù) ), 那末點(diǎn) M 構(gòu)成的圖形叫做 圓柱 螺旋線 , 試建立其參數(shù)方程 . 解 : 取時(shí)間 t為參數(shù) , 設(shè)當(dāng) t = 0時(shí) , 動(dòng) 點(diǎn) 位 于 x 軸 上 的 一 點(diǎn) A(a, 0, 0)處 。 解： ???????0)1(2222zRzyx??????0)2(222zRyx??????????2222222)3(RyxRzyx???????00yxyx例 寫出 Oz軸的方程。 其坐標(biāo)式參數(shù)方程為 )7(s i nc o s????????uzRyRx??（ 6）（ 7）式中的 ?， u為參數(shù)，其取值范圍是 ???＜ ?， ?＜ u＜ + ? 第三節(jié) 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面 x y z o 引例 : 考慮方程 x2 + y2 = R2所表示的曲面 . 在 xoy面上 , x2 + y2 = R2 表示以原點(diǎn) O為圓心 , 半徑為 R的圓 . xoy面上的圓 x2 + y2 = R2 叫做柱面的 準(zhǔn)線 . 平行于 z 軸的直線 L 叫做柱面的 母線 . 曲面可以看作是由平行于 z 軸的直線 L沿 xoy面上的圓 x2 + y2 = R2 移動(dòng)而形成 , 稱該曲面為 圓柱面 . o l M(x, y, 0) 定義 : 平行于定直線并沿定曲線 C移動(dòng)直線 L 形成的軌跡叫做 柱面 . 定曲線 C叫做柱面的 準(zhǔn)線 . 動(dòng)直線 L 叫做柱面的 母線 . 例 1: 方程 y2 =2x 表示 .母線平行于 z 軸的柱面 , o x z y y2 =2x 它的準(zhǔn)線是 xoy面上的拋物線 y2 =2x, 該柱面叫做 拋物柱面 . 例 2: 方程 x?y = 0表示 . 母線平行于 z 軸的柱面 , x x?y = 0 z y o 它的準(zhǔn)線是 xoy面上的直線 x?y = 0, 所以它是過 z軸 的平面 . 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程 . 1? 方程 F (x, y) =0 表示 : 2? 方程 F (x, z) =0 表示 : 3? 方程 F (y, z) =0 表示 : 母線平行于 z 軸的柱面 , 準(zhǔn)線為 xoy面上的曲線 C: F (x, y) = 0 . 母線平行于 y 軸的柱面 , 準(zhǔn)線為 xoz面上的曲線 C: F (x, z) = 0 . 母線平行于 x 軸的柱面 , 準(zhǔn)線為 yoz面上的曲線 C:
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