【正文】 如 數(shù)列 {}na 滿足1 1 154, 3n n na S S a??? ? ?， 求 na （答： ?14, 13 4 , 2nn na n??? ?） ： （ 1） 公式法 ： ①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式， 特別聲明 ： 運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與 1 的關(guān)系，必要時需分類討論 .；③常用公式： 11 2 3 ( 1 )2n n n? ? ? ? ? ?，2 2 2 11 2 ( 1 ) ( 2 1 )6n n n n? ? ? ? ? ?， 3 3 3 3 2( 1 )1 2 3 [ ]2nnn ?? ? ? ? ?.如（ 1） 等比數(shù)列 {}na 的前 n 項和 Sｎ ＝ 2ｎ －１， 則 2232221 naaaa ???? ?＝ _____（答： 413n? ）； （ 2） 計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行處理的。 如 ① 已知 111, 3 2nna a a ?? ? ?，求 na （答： 12 3 1nna ???）； ② 已知 111, 3 2 nnna a a ?? ? ?，求 na （答： 115 3 2nnna ????）； （ 2）形如 11nnnaa ka b??? ?的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項 。 如 已知數(shù)列 }{na中， 21?a ，前 n 項和 nS ，若 nn anS 2? ，求 na （答： 4( 1)na nn? ?） ⑹ 已知遞推關(guān)系求 na ，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）。 如 數(shù)列 }{na 中， ,11?a對所有的 2?n 都有 2321 naaaa n ?? ，則 ?? 53 aa ______（答： 6116 ） ⑷ 若 1 ()nna a f n? ?? 求 na 用累加法： 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )n n n n na a a a a a a? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1a? ( 2)n? 。 如 已知數(shù)列 ?,3219,1617,815,413試寫出其一個通項公式： __________（答：11212n nan ?? ? ?） ⑵ 已知 nS （即 12 ()na a a f n? ? ? ?）求 na ，用作差法： ? 11, ( 1), ( 2 )nnnSna S S n??? ??。 如 設(shè) 數(shù)列 ??na 的前 n 項和為 nS（ N?n ） ， 關(guān)于數(shù)列 ??na 有 下列三個命題： ① 若 )(1 N?? ? naa nn ，則 ??na 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列； ② 若 ? ?R??? banbnaS n 、2 ，則 ??na 是等差數(shù)列； ③ 若 ? ?nnS 11 ??? ，則 ??na 是等比數(shù)列 。 當(dāng) 1q?? ，且 n 為 偶 數(shù) 時 ， 數(shù) 列2 3 2,n n n n nS S S S S?? ，?是常數(shù)數(shù)列 0，它不是等比數(shù)列 . 如（ 1） 已知 0a? 且 1a? ，設(shè)數(shù)列{}nx 滿足 1l o g 1 l o ga n a nxx? ?? ( *)nN? ，且 1 2 1 0 0100x x x? ? ? ?，則1 0 1 1 0 2 2 0 0x x x? ? ? ? . （答： 100100a ）； （ 2） 在等比數(shù)列 }{na 中， nS 為其前 n 項和，若 1 4 0,13 30101030 ??? SSSS ，則 20S 的值為 ______（答： 40） (3)若 1 0, 1aq??，則 {}na 為遞增數(shù)列；若 1 0, 1aq??, 則 {}na 為遞減數(shù)列；若1 0,0 1aq? ? ? ，則 {}na 為遞減數(shù)列；若 1 0,0 1aq? ? ? , 則 {}na 為遞增數(shù)列；若 0q? ， 則 {}na為擺動數(shù)列；若 1q? ， 則 {}na 為常數(shù)列 . (4) 當(dāng) 1q? 時， baqqaqqaS nnn ??????? 11 11，這里 0ab?? ，但 0, 0ab??，這是等比數(shù)列 前 n 項和公式的一個特征，據(jù)此很容易根據(jù) nS ，判斷數(shù)列 {}na 是否為等比數(shù)列。（答： 15， ,9，3,1 或 0,4， 8,16） ： （ 1）當(dāng) m n p q? ? ? 時，則有 m n p qa a a a? ，特別地，當(dāng) 2m n p?? 時，則有 2m n pa a a? .如（ 1） 在等比數(shù)列 {}na 中， 3 8 4 71 2 4 , 5 1 2a a a a? ? ? ?，公比 q 是整數(shù)，則 10a =___（答： 512）；（ 2） 各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 {}na 中， 若 569aa??，則 3 1 3 2 3 10log log loga a a? ? ? ? （答：10） 。只要已知這 5 個元素中的任意 3 個，便可求出其余 2 個，即知 3 求2； （ 2） 為減少運算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為?， 22 , , , ,aaa aq aqqq?（公比為 q ）；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為? 33 , aqaqqaqa，?，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此設(shè)，且公比為 2q 。 提醒 ：不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項， 且有兩個 ab? 。 如 （ 1） 等比數(shù)列中， q ＝ 2， S99=77，求 9963 aaa ??? ? （答： 44）； （ 2） )(101 0??? ?nnkknC的值為 __________（答： 2046）； 特別提醒： 等比數(shù)列前 n 項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前 n 項和時，首先要判斷公比 q 是否為 1，再由 q 的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比 q 是否為 1時，要對 q 分 1q?和 1q? 兩種情形討論求解。 （ 2） 等比數(shù)列的通項： 11 nna aq ?? 或 nmnma a q ?? 。（答：前 13 項和最大，最大值為 169）； （ 2） 若 {}na 是等差數(shù)列，首項 1 0,a? 2020 2020 0aa??， 2020 2020 0aa??，則使前 n 項和 0nS? 成立的最大正整數(shù) n 是 （答： 4006） (8)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù) . 注意 ：公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究 nmab? . ： （ 1） 等比數(shù)列的判斷方法： 定義法 1 (nna qqa? ? 為 常 數(shù) ）， 其中 0, 0nqa??或 11nnaa??? ( 2)n? 。 法一： 由不等式組???????? ??? ????? ?? ?? 0000 11 nnnn aaaa 或確定出前多少項為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前 n 項是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性 *nN? 。 （ 答： 225） （ 5） 在等差數(shù)列 {}na 中，當(dāng)項數(shù)為偶數(shù) 2n 時， S S nd?偶 奇－ ；項數(shù)為奇數(shù) 21n? 時，S S a??奇 偶 中 ， 21 (2 1)nS n a? ? ? ? 中（這里 a中 即 na ）； : ( 1):奇 偶S S k k??。 （ 2 ） 為減 少運 算 量， 要注 意設(shè) 元 的技 巧， 如 奇數(shù) 個數(shù) 成等 差 ，可 設(shè)為 ? ，2 , , , , 2a d a d a a d a d? ? ? ??（公差為 d ）； 偶 數(shù) 個 數(shù) 成 等 差 ， 可 設(shè) 為 ? ，3 , , , 3a d a d a d a d? ? ? ?,?（公差為 2d ） ： （ 1）當(dāng)公差 0d? 時，等差數(shù)列的通項公式 11( 1 )na a n d d n a d? ? ? ? ? ?是關(guān)于 n 的一次函數(shù)， 且 斜率為公差 d ； 前 n 和 211( 1 ) ()2 2 2n n n d dS na d n a n?? ? ? ? ?是關(guān)于 n 的二次函數(shù)且常數(shù)項為 0. （ 2）若公差 0d? ，則為遞增等差數(shù)列， 若公差 0d? ，則為遞減等差數(shù)列， 若公差 0d? ，則為常數(shù)列。 提醒 ： （ 1） 等差數(shù)列的通項公式及 前 n 和公式 中，涉及到 5 個元素： 1a 、 d 、 n 、 na 及 nS ，其中 1a 、 d 稱作為基本元素。 如 (1)等差數(shù)列 {}na 中，10 30a ? ， 20 50a ? ，則通項 na? （答： 2 10n? ）； （ 2） 首項為 24 的等差數(shù)列，從第10 項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是 ______（答： 8 33 d??） （ 3） 等差數(shù)列的前 n 和： 1()2 nn n a aS ??，1 ( 1)2n nnS na d???。 如 設(shè){}na 是等差數(shù)列，求證：以 bn= n aaa n??? ?21 *nN? 為通項公式的數(shù)列 {}nb 為等差數(shù)列。 如（ 1） 若 xR? ， ()fx滿足 ( ) ( )f x y f x?? ()fy? ，則 ()fx的奇偶性是 ______（答：奇函數(shù)）； （ 2） 若 xR? ， ()fx滿足 ( ) ( )f xy f x? ()fy? ，則 ()fx的奇偶性是 ______（答：偶函數(shù)）； （ 3） 已知 ()fx是定義在 ( 3,3)? 上的奇函數(shù)，當(dāng) 03x??時， ()fx的圖像如右圖所示，那么不等式 ( ) cos 0f x x ? 的解集是_____________（答： ( , 1) ( 0 ,1) ( , 3 )22????）； （ 4） 設(shè) ()fx的 定 義 域 為 R? ， 對 任 意 ,x y R?? ，都有( ) ( ) ( )xf f x f yy ??，且 1x? 時， ( ) 0fx? ，又 1( ) 12f ? ，① 求證 ()fx為減函數(shù)； ② 解不等式 2( ) (5 )f x f x ????.（答： ? ? ? ?0,1 4,5 ） ． 三、數(shù) 列 數(shù)列的概念 ： 數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集 N*（或它的有限子集｛ 1,2， 3，?， n｝）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。 如 已知 )xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為 T，則 ?? )2( Tf ____（答： 0） （ 2） 利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進行演繹探究 ： 如（ 1） 設(shè)函數(shù) ( )( )f x x N? 表示 x 除以 3 的余數(shù)，則對任意的 ,x y N? ，都有 A、 ( 3) ( )f x f x?? B、( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ? C、 (3 ) 3 ( )f x f x? D、 ( ) ( ) ( )f xy f x f y? （答： A） ； （ 2） 設(shè) )(xf 是定義在實數(shù)集 R 上的函數(shù)，且滿足 )()1()2( xfxfxf ???? ，如果 23lg)1( ?f ， 15lg)2( ?f ，求 )2020(f （答： 1）； （ 3） 如設(shè) )(xf 是定義在 R 上的奇函數(shù)，且 )()2( xfxf ??? ，證明：直 7 線 1?x 是函 數(shù) )(xf 圖象的 一條 對稱 軸； （ 4 ） 已知定 義域為 R 的函 數(shù) )(xf 滿足)4()( ???? xfxf ，且當(dāng) 2?x 時， )(xf 單調(diào)遞增。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是： （ 1） 借鑒模型函數(shù)進行類比探究 。（ 2）常見的函數(shù)模型有： ① 建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型； ② 建立分段函數(shù)模型； ③ 建立指數(shù)函數(shù)模型； ④ 建立 by ax x??型。 16. 函數(shù)的應(yīng)用 。 （ 1） 類比“三角函數(shù)圖像”得 ： ① 若 ()y f x? 圖像有兩條對稱軸 , ( )x a x b a b? ? ?，則 ()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ② 若 ()y f x? 圖像有兩個對稱中心 ( , 0 ), ( , 0 )( )A a B b a b?，則 ()y f x? 是周期函數(shù)，且一周期為 2| |T a b??； ③ 如果函數(shù) ()y f x? 的圖像有一個對稱中心 ( ,0)Aa 和一條對稱軸 ()x b a b??，則函數(shù)()y f x? 必是周期函數(shù)，且一周期為 4| |T a b??； 如 已知定義在 R 上的函數(shù) ()fx是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程 ( ) 0fx? 在 [ 2,2]? 上至少有__________個實數(shù)根 （答： 5） （ 2） 由周期函數(shù)的定義 “函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ?? ( 0)a? ，則 ()fx是周期為 a 的周期函數(shù)” 得 ： ① 函數(shù) ()fx滿足 ? ? ? ?xafxf ??? ，則 ()fx是周期為 2a 的 周期函數(shù)； ② 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ?恒成立，則 2Ta? ； ③ 若 1( ) ( 0)()f x a afx? ? ? ?恒成立，則 2Ta? . 如 (1) 設(shè) )(xf 是 ),( ???? 上的奇函數(shù)， )()2( xfxf ??? ，當(dāng) 10 ??x 時， xxf ?)( ，則 )(f 等于 _____(答 ： ? )； (2)定義在 R 上的偶函數(shù) ()fx滿足 ( 2) ( )f x