【正文】 明確問題的實(shí)際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系； ② 建模 ――通過抽象概括，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題， 別忘了注上符合實(shí)際意義的定義域 ； ③ 解模 ――求解所得的數(shù)學(xué)問題； ④ 回歸――將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實(shí)際問題中去 。 17. 抽象函數(shù) ：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。 幾類常見的抽象函數(shù) ： ① 正比例函數(shù)型： ( ) ( 0)f x kx k?? ( ) ( ) ( )f x y f x f y? ? ?； ② 冪函數(shù)型： 2()f x x? ( ) ( ) ( )f xy f x f y? ， ()()()x f xf y f y?； ③ 指數(shù)函數(shù)型： () xf x a? ( ) ( ) ( )f x y f x f y?? ， ()()()fxf x y fy??； ④ 對(duì)數(shù)函數(shù)型： ( ) logaf x x? ( ) ( ) ( )f x y f x f y??， ( ) ( ) ( )xf f x f yy ??； ⑤ 三角函數(shù)型： ( ) tanf x x? ( ) ( )()1 ( ) ( )f x f yf x y f x f y??? ?。如果 421 ??xx ，且 0)2)(2( 21 ??? xx ，則 )()( 21 xfxf ? 的值的符號(hào)是 ____（答： 負(fù)數(shù) ） （ 3） 利用一些方法（如賦值法（令 x ＝ 0 或 1，求出 (0)f 或 (1)f 、令 yx? 或 yx?? 等）、遞推法、反證法等）進(jìn)行邏輯探究 。 如（ 1） 已知 *2 ()156n na n Nn???，則在數(shù)列 {}na 的最大項(xiàng)為 __（答： 125 ）； （ 2） 數(shù)列 }{na 的通項(xiàng) 為 1??bnanan，其中 ba, 均為正數(shù)，則 na 與 1?na 的大小關(guān)系為 ___（答： na? 1?na ）； （ 3） 已知數(shù)列 {}na 中， 2na n n??? ，且 {}na 是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù) ? 的取值范圍（答： 3??? ）； （ 4） 一給定函數(shù) )(xfy? 的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意 )1,0(1?a ，由關(guān)系式 )(1 nn afa ?? 得到的數(shù)列 }{na 滿足 )( *1 Nnaa nn ??? ，則該函數(shù)的圖象是 （）（答： A） A B C D ： （ 1） 等差數(shù)列的判斷方法： 定義法 1 (nna a d d? ?? 為 常 數(shù) ）或 11( 2 )n n n na a a a n??? ? ? ?。 （ 2） 等差數(shù)列的通項(xiàng)： 1 ( 1)na a n d? ? ? 或 ()nma a n m d? ? ? 。 如（ 1） 數(shù)列 {}na 中，*1 1 ( 2 , )2nna a n n N?? ? ? ?， 32na? ，前 n 項(xiàng)和 152nS ?? ，則 1a ＝＿， n ＝＿（答： 1 3a?? ，10n? ）； （ 2） 已知數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和 212nS n n??，求數(shù)列 {| |}na 的前 n 項(xiàng)和 nT （答：2*2*12 ( 6 , )12 72 ( 6 , )nn n n n NT n n n n N? ? ? ??? ? ? ? ? ???） . （ 4） 等差中項(xiàng)： 若 ,aAb 成等差數(shù)列，則 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)，且 2abA ?? 。只要已知這 5 個(gè)元素中的任意 3 個(gè)，便可求出其余 2 個(gè)，即知 3 求2 。 （ 3）當(dāng) m n p q? ? ? 時(shí) ,則有 qpnm aaaa ??? ，特別地，當(dāng) 2m n p?? 時(shí)，則有2m n pa a a?? .如（ 1） 等差數(shù)列 {}na 中， 1 2 31 8 , 3 , 1n n n nS a a a S??? ? ? ? ?，則 n ＝ ____（答：27）； （ 2） 在等差數(shù)列 ??na 中， 10 110, 0aa??，且 11 10||aa? ， nS 是其前 n 項(xiàng)和，則 A、 1 2 10,S S S都小于 0， 11 12,SS 都大于 0 B、 1 2 19,S S S 都小于 0， 20 21,SS 都大于 0 C、 1 2 5,S S S都小于 0， 67,SS 都大于 0 D、 1 2 20,S S S 都小于 0， 21 22,SS 都大于 0 （答： B） (4) 若 {}na 、 {}nb 是等差數(shù)列，則 {}nka 、 {}nnka pb? ( k 、 p 是非零常數(shù) ) 、*{ }( , )p nqa p q N? ? 、 2 3 2,n n n n nS S S S S?? ，? 也成等差數(shù)列，而 {}naa 成等比數(shù)列 ； 若 {}na 是等比數(shù)列，且 0na? ，則 {lg }na 是等差數(shù)列 . 如 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 25，前 2n 項(xiàng)和為 100，O 1 2 3 x y 8 則它的前 3n 和為 。 如（ 1） 在等差數(shù)列中， S11＝ 22，則 6a ＝ ______（ 答： 2）； （ 2） 項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列 {}na 中，奇數(shù)項(xiàng)和為 80，偶數(shù)項(xiàng)和為 75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)（ 答： 5； 31） . （ 6 ） 若 等 差 數(shù) 列 {}na 、 {}nb 的 前 n 和 分別為 nA 、 nB ，且 ()nnA fnB ? ，則2121( 2 1 ) ( 2 1 )( 2 1 )n n nn n na n a A fnb n b B ???? ? ? ?? .如 設(shè) { na }與 { nb }是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前 n 項(xiàng)和分別 為nS 和 nT ，若 34 13 ??? nnTSnn ，那么 ?nnba ___________（ 答： 6287nn?? ） (7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前 n 項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前 n 項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？ 如（ 1） 等差數(shù)列 {}na 中， 1 25a? ， 9 17SS? ，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。 如（ 1） 一個(gè)等比數(shù)列 { na }共有 21n? 項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為 100，偶數(shù)項(xiàng)之積為 120，則 1na?為 ____（答： 56 ）； （ 2） 數(shù)列 {}na 中，nS=4 1na? +1 ( 2n? )且 1a =1，若 nnn aab 21 ?? ? ，求證 ：數(shù)列｛ nb ｝是等比數(shù)列。 如 設(shè)等比數(shù)列 {}na 中， 1 66naa??，21128naa? ? ，前 n 項(xiàng)和 nS ＝ 126，求 n 和公比 q . （答： 6n? ， 12q? 或 2） （ 3） 等比數(shù)列的前 n 和： 當(dāng) 1q? 時(shí)， 1nS na? ；當(dāng) 1q? 時(shí)， 1(1 )1nn aqS q?? ? 11 na a qq?? ? 。 （ 4） 等比中項(xiàng)： 若 ,aAb 成等比數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等比中項(xiàng)。如已知兩個(gè)正數(shù) , ( )a b a b? 的等差中項(xiàng)為 A，等比中項(xiàng)為 B，則 A 與 B 的大小關(guān)系為 ______（答： A＞ B） 提醒 ： （ 1） 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及 前 n 和公式 中，涉及到 5 個(gè)元素： 1a 、 q 、 n 、 na 及 nS ，其中 1a 、 q 稱作為基本元素。 如 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是 16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為 12， 求此四個(gè)數(shù)。 (2) 若 {}na 是等比數(shù)列，則 {| |}na 、 *{ }( , )p nqa p q N? ? 、 {}nka 成等比數(shù)列；若 { }{ }nnab、成等比數(shù)列，則 {}nnab 、 {}nnab 成等比數(shù)列； 若 {}na 是等比數(shù)列， 且公比 1q?? ，則數(shù)列2 3 2,n n n n nS S S S S?? ，?也是 等 比 數(shù) 列 。 如 若 {}na是等比數(shù)列，且 3nnSr??，則 r ＝ （答： － 1） 9 (5) mnm n m n n mS S q S S q S? ? ? ? ?.如 設(shè)等比數(shù)列 }{na 的 公比為 q ，前 n 項(xiàng)和為 nS ，若12,n n nS S S??成等差數(shù)列，則 q 的值為 _____（答： － 2） (6) 在等比數(shù)列 {}na 中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù) 2n 時(shí)， S qS?偶 奇 ；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 21n? 時(shí)，1S a qS??奇 偶 . (7)如果數(shù)列 {}na 既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列 {}na 是非零常數(shù)數(shù)列 ，故 常數(shù)數(shù)列 {}na僅是 此 數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件 。 這些命題中，真 命題的 序號(hào) 是 （答： ②③ ） ： ⑴ 公式法： ①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式 。 如 ①已知 {}na 的前 n 項(xiàng)和滿足 2log ( 1) 1nSn? ? ?，求 na （答： ?3, 12 , 2nn na n?? ?）； ② 數(shù)列 {}na 滿足1221 1 1 252 2 2 nna a a n? ? ? ? ?，求 na （答： ?114, 12 , 2nn n n? ?? ?） ⑶ 已知 12 ()na a a f n? 求 a ，用作商法： (1), ( 1)(), ( 2 )( 1)nfnfnanfn???? ??? ??。 如 已知數(shù)列 {}na 滿足 1 1a? ， nnaa nn ???? ? 111 ( 2)n? ，則 na =________（答：1 2 1nan? ? ? ?） ⑸ 已知 1 ()nna fna? ? 求 na ，用累乘法： 12 11 2 1nnn a a aaaa a a???? ? ? ? ?( 2)n? 。特別地 ， （ 1） 形如 1nna ka b???、1 nnna ka b???（ ,kb為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k 的等比數(shù)列后，再求 na 。 如① 已知 11 11, 31nn naaa a ???? ?，求 na （答： 132na n? ?）； ② 已知數(shù)列滿足 1a =1 ，11n n n na a a a????，求 a （答： 21na n? ） 注意 ：（ 1） 用 1??? nnn SSa 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（ 2n? ，當(dāng) 1n? 時(shí)， 11 Sa? ）； （ 2） 一般地當(dāng)已知條件中含有 na 與 nS 的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式1??? nnn SSa ，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含 na 或 nS 的關(guān)系式，然后再求解。二進(jìn)制即“逢 2 進(jìn) 1”，如 2)1101( 表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是 1321202121 0123 ???????? ，那么將二進(jìn)制????? ? 12020 2)11111( 個(gè)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是 _______（答： 202021? ） （ 2） 分組求和法 ：在直接運(yùn)用公式法求 和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和 . 如 求： 1 3 5 7 ( 1 ) ( 2 1 )nnSn? ? ? ? ? ? ? ? ?（答： ( 1)n n??） （ 3） 倒序相加法 ：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法） . 如① 求 證 ： 0 1 23 5 ( 2 1 ) ( 1 ) 2nnn n n nC C C n C n? ? ? ? ? ? ?； ② 已知 22() 1 xfx x? ?，則111( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4) ( ) ( ) ( )234f f f f f f f? ? ? ? ? ?＝ ______（答： 72 ） （ 4） 錯(cuò)位相減法 ：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前 n 和公式的推導(dǎo)方法） . 如 （ 1） 設(shè) {}na 為等比數(shù)列，1 2 1( 1 ) 2n n nT n a n a a a?? ? ? ? ? ?，已知 1 1T? ， 2 4T? ， ① 求數(shù)列 {}na 的首項(xiàng)和公比； ② 求數(shù)列{}nT 的通項(xiàng)公式 . （答： ① 1 1a? ， 2q? ； ② 122nnTn?? ? ? ）； （ 2 ） 設(shè)函數(shù))1(4)()1()( 2 ???? xxgxxf ，數(shù)列 }{na 滿足： 1 2, ( )na f a? ( na?? ))(()1 ?? ? Nnaga nn ， ① 求證：數(shù)列 }1{ ?na 是等比數(shù)列； ② 令 212( ) ( 1 ) ( 1 )h x a x a x? ? ? ? 10 ( 1) nnax? ? ? ，求函數(shù) )(xh 在點(diǎn) 38?x 處的導(dǎo)數(shù) )38(h? ，并比