淺談導(dǎo)數(shù)恒成立中的整數(shù)問題(參考版)
2025-03-28 05:32本頁面
【正文】 7。導(dǎo)數(shù)恒成立問題中的整數(shù)問題，目前在導(dǎo)數(shù)問題中出現(xiàn)的頻率還相對(duì)較低，因此對(duì)這類問題的研究還不夠深入。 （2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求正整數(shù)n的最大值。第一問屬于常規(guī)問題，略解如下：⑴因?yàn)?，所以不等式即為，又因?yàn)?，所以不等式可化為，所以不等式的解集為?⑵，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故符合要求； ②當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)椋杂袃蓚€(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)，因此有極大值又有極小值．若，因?yàn)?，所以在?nèi)有極值點(diǎn)，故在上不單調(diào)． 若，可知，因?yàn)榈膱D象開口向下，要使在上單調(diào)，因?yàn)椋仨殱M足即所以.綜上可知，的取值范圍是． ⑶當(dāng)時(shí), 方程即為，由于，所以不是方程的解，所以原方程等價(jià)于，令，因?yàn)閷?duì)于恒成立，所以在和內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)， 又，所以方程有且只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且分別在區(qū)間和上，所以整數(shù)的所有值為。又∴當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；∴使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.四、方程的根（函數(shù)的零點(diǎn)）與整數(shù)相關(guān)已知函數(shù)，其中ｅ是自然數(shù)的底數(shù)。又∴存在，使得。設(shè)，則。導(dǎo)數(shù)恒成立中問題中的整數(shù)問題導(dǎo)數(shù)為我們解決有關(guān)函數(shù)問題提供了一般性方法，是解決實(shí)際問題強(qiáng)有力的工具. 與初等數(shù)學(xué)方法比較，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)具有簡(jiǎn)捷性、有效性和一般性的特點(diǎn). 以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，考查函數(shù)圖象、極（最）值、單調(diào)性及其應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及不等式交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向． 導(dǎo)數(shù)問題靈活多變，經(jīng)常在與函數(shù)、不等式以及數(shù)列等知識(shí)的交匯處命題，綜合程度高，命題時(shí)以能力立意為主，思維力度大，涉及的數(shù)學(xué)思想方法豐富多樣，因此，將導(dǎo)數(shù)問題歸類研究，揭示各種題型的普遍特征和規(guī)律，是每一位高中數(shù)學(xué)教師當(dāng)
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