利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題(參考版)
2025-03-27 12:44本頁面
【正文】 此時(shí)不等式一般形如或，直接求的最值。此時(shí)不等式一般形如或，直接求的最值。得到或，然后求的最值。此時(shí)不等式一般形如或，直接求 的最值。一般來說，有以下五類題型：① 在某個(gè)區(qū)間上“單調(diào)遞增減”：表明（）恒成立；② “無極值點(diǎn)”，表明恒成立或恒成立；③“曲線在曲線上方（下方）”：表明（）恒成立；③ “無零點(diǎn)”：表明恒成立或恒成立；⑤ 標(biāo)志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時(shí)題干已給出不等式例1：設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若對(duì)于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的值為？【解析】若x＝0，則不論a取何值，f(x)≥0顯然成立；當(dāng)x0，即x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化為a≥－.設(shè)g(x)＝－，則g′(x)＝，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此g(x)max＝g＝4，從而a≥4.當(dāng)x0，即x∈[－1,0)時(shí)，同理a≤－.g(x)在區(qū)間[－1,0)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(－1)＝4，從而a≤4，綜上可知a＝4.【點(diǎn)評(píng)】首選考慮參量分離。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值● 基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)和邏輯關(guān)系一、 函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:1) 確定函數(shù)的的定義區(qū)間；2) 求，令，解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；3) 把函數(shù)的無定義點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些 點(diǎn)把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；4) 確定在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由的符號(hào)判定函數(shù)在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.二、 函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個(gè)基本步驟
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