應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答(參考版)
2025-03-28 01:39本頁面
【正文】 19。所以，這表明是連續(xù)的。由此可知：，當(dāng)，有。，由在上連續(xù)知：，當(dāng)，且時，有。最后來說明是連續(xù)的。所以是等度連續(xù)的。由于有界，則有界，所以有界。首先來說明它是緊算子。則為。顯然是非空有界閉凸集。）2． 設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，且，證明積分方程在上必有連續(xù)解。證明：略。第 五 節(jié)1． 設(shè)在上連續(xù)，且。此外當(dāng)，時。第 三 節(jié)2． 設(shè)在上－可微，證明在處連續(xù)等價于：對任何，存在，當(dāng)，時。3）1）。由在處連續(xù)，當(dāng)時。1）3）。因此有，不收斂于，這與矛盾。若在處不連續(xù)，當(dāng)時，但。所以。設(shè)，當(dāng)時。證明：1）2）。顯然，所以。令，求出上投影算子的具體形式。所以也是自伴算子。證明也是自伴算子。所以。解：令。2． 設(shè)定義為。則。求的共軛算子。所以是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系等價于。證明：完備完全。這表明是閉集。所以有。設(shè)是中的收斂點(diǎn)列，且滿足。（提示：利用投影定理。綜上所述。由于，所以上式也可理解為關(guān)于的投影，又因?yàn)殛P(guān)于的投影也可寫成：，而投影是唯一的，所以。由習(xí)題2的結(jié)論有，所以只要證明。）證明：由于。）證明：5．設(shè)是Hilbert空間的子空間，證明。證明是中的收斂點(diǎn)列。由內(nèi)積的連續(xù)性，很容易得到。另一方面。，有，而由構(gòu)造方法可知：。第 二 節(jié)2．設(shè)是Hilbert空間的非空子集。解：取。所以由（１）式可得：。――（１）式。證明：必要性是顯然的。3．設(shè)是內(nèi)積空間中的點(diǎn)列，且對一切。則。第 三 章第 一 節(jié)2．設(shè)實(shí)數(shù)列滿足，證明：。，所以是單映射，又是的真子空間。所以。）證明：令為。7．定義為，證明是緊線性算子，且。證明：。所以。證明：已知與是等距同構(gòu)的，所以，使得。4．定義算子為。由。證明：。此與矛盾，故。再由。證明。第 六 節(jié)2．設(shè)是賦范空間的子空間。綜上所述。此外，所以。則。證明：。由此可知：由（１）式可知：。此外。則。證明：。充分性：由且。最后我們來證明題目的結(jié)論。再根據(jù)逆算子定理也有界。由此可知，是閉算子。顯然有。則是線性雙映射。下面要說明的是范數(shù)與是等價的。令（１）式中，則。――（１）式。設(shè)是中的Cauchy列。由此可知是賦范空間。設(shè)，則。正定性和絕對齊性是顯然的。（提示：對，其中，令，說明是Banach空間。又設(shè)。根據(jù)閉圖像定理，則。由解的唯一性可知：。由的連續(xù)性意知是連續(xù)的。證明。綜上所述，與范數(shù)等價。又根據(jù)逆算子定理，也是有界的。根據(jù)閉圖像定理，則是有界的。再由，可得。且中的收斂等價于一致收斂，所以。設(shè)，且。）證明：令為。證明范數(shù)與范數(shù)等價。證明：由習(xí)題4的結(jié)論可知：，又由于，所以。同理可得：。由泛函延拓定理知：，使得。令，則它為中的子空間。7．設(shè)是賦范空間中有限個線性無關(guān)向量，證明存在使。而由的構(gòu)造可知：。必要性。證明可用中元的有限線性組合逼近的充要條件是：只要滿足，則。所以只要滿足，則這一條件成立，必可推出。充分性：同樣用反證發(fā)。設(shè)滿足，但，由Ｐ50頁的推論2的結(jié)論可知，這與矛盾。證明：必要性。5．設(shè)是賦范空間中的子空間。證明：由Ｐ49頁的推論1可知：存在，使得，且。緊，使。令，則是有界閉集，又因?yàn)槭怯邢蘧S的，所以是緊集。證明：不妨設(shè)是閉集，是緊集。3．設(shè)，與均是的非空子集，且其中一個是閉集，另一個是緊集，證明存在，使。構(gòu)造為，這里由此可知與拓?fù)渫瑯?gòu)。2．證明定理3（賦范空間是有限維的充要條件是：中的有界閉集都是緊集。又因?yàn)橛邢蘧S空間是閉集。證明：容易驗(yàn)證按上的范數(shù)成為賦范空間，下面要證明它是閉的。故若不連續(xù)。又因?yàn)樵谥谐砻?，所以。令，則，且，由稠密性定義可知：在中稠密。7．證明上的非零線性泛函不是連續(xù)的等價于在中稠密。由此可知：。令一方面，令，則。證明：。6．設(shè)，定義為：。所以。（提示：利用Holder不等式。5．（HilertSchmidt）型積分算子）設(shè)，令為：。則，由的任意性，所以。所以。證明：。4．設(shè)無窮矩陣滿足：。（4），所以；又當(dāng)
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1