【正文】 82 。對(duì)于較大的值，圖示的彎矩符號(hào)都要改號(hào)，方程（a）變?yōu)? （h）類似的可導(dǎo)出與的關(guān)系為 （i）對(duì)不同的值，可求得值如下120當(dāng)時(shí)，違反式（g），故（i）式適用于范圍。對(duì)點(diǎn)1取矩得 （a）由于只受集中力作用，只能是截面1，2進(jìn)入屈服，代入屈服條件，得 （b）代入式（a），得 （c）解出 （d）將等代入，可簡(jiǎn)化為 （e）使用上式時(shí)有如下限制，由（b）式 ， （f）由于，故，因此屈服條件要求即 （g）對(duì)不同的值代入（e）式，可得下列結(jié)果。，短半軸為b的橢圓環(huán)，受力如圖所示，假設(shè)環(huán)截面的屈服條件為，這里，分別表示純彎時(shí)的極限彎矩及純拉時(shí)的極限拉力，試用靜力法求極限載荷P,給定參數(shù)如下：，試給出隨的變化規(guī)律。已經(jīng)比初始基本解有了進(jìn)步，但最后一行系數(shù)還有負(fù)的，故尚需換基，現(xiàn)在要進(jìn)基，由于第三行為，第四行為，因此要出基，將第二行消成0，0，1，0，0，0形式如下表所示：這時(shí)對(duì)應(yīng)的解為，由于最后一行系數(shù)都是正的，表示已求得線性規(guī)劃問題的解，將結(jié)果恢復(fù)到原問題則有這表示點(diǎn)1，2，4成鉸，對(duì)應(yīng)的破損機(jī)構(gòu)如圖所示。接著要進(jìn)行換基，從最后一行看有哪些的系數(shù)是負(fù)的，現(xiàn)在只有一個(gè)系數(shù)負(fù)的。初始基本可行解：取，基本變量為。滿足：下面我們采用單純形法求解，用列表方式進(jìn)行。（4）在方程（b）中消去成為一個(gè)等式約束。并滿足下列約束條件： 現(xiàn)在要把滿足方程（b），（c）及使取最大值的問題化成標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，這時(shí)可作下列變換：（1）令 （2）令，把求最大變成求最小。（即下限法）求圖示剛架的極限載荷P，要求把問題歸結(jié)為標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問題，并用單純形法求解?？闪谐銎胶夥匠虂砬蟪鲞@些未知彎矩。在圖示機(jī)構(gòu)（e）中，與機(jī)構(gòu)（c）時(shí)一樣，但較小，點(diǎn)1，6，9，10轉(zhuǎn)角為，而點(diǎn)4，10，12轉(zhuǎn)角為，由此得出 （e）這比機(jī)構(gòu)（c）有了進(jìn)一步改進(jìn)，是否最小的上限值還可用下限法作進(jìn)一步檢驗(yàn)。解 1）上限法：圖示破損機(jī)構(gòu)（a），（b），（c），（d）都是分別由一個(gè)外載荷引起的。因?yàn)?，而現(xiàn)在，故最小值的只能取在固定端處，將代入（a）式，得2） 當(dāng)時(shí)，即，代入（b）式，得。解 由于各截面的值不同，因此除集中力作用點(diǎn)能形成鉸外，另一鉸距點(diǎn)距離為，而不一定總在固定端，如圖所示。，利用上限定理求極限載荷q.解 1）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（a）可得由，得代入上式，得 （a）2）對(duì)破損機(jī)構(gòu)（b） 由，得，代入上式得， （b）當(dāng)（a）式和（b）式相等時(shí)，故有，高度h線性變化的矩形截面梁，簡(jiǎn)支座截面高為，固定端處截面高為。由得化簡(jiǎn)得令得故 解3：如圖設(shè)在等處形成塑性鉸。故破壞載荷為解3：該梁的可能破壞結(jié)構(gòu)與第一題完全相同若塑性鉸在、處形成若塑性鉸在、處形成比較可知梁的極限載荷為解4：此梁為一次超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)形成兩個(gè)塑性鉸時(shí)，梁即成為破壞機(jī)構(gòu)，其破壞形式有（b）（c）（d）三種可能。解1：次梁為一次超靜定梁，可能的破壞機(jī)構(gòu)有兩種，如圖（b）、（c）。(1)四邊簡(jiǎn)支，邊長為的正方形板，載荷作用在板的中點(diǎn)；(2)三邊簡(jiǎn)支一邊自由的矩形板，在自由邊中點(diǎn)承受集中力的作用；(3)四邊簡(jiǎn)支矩形板，在板上任意點(diǎn)()承受集中力的作用．解（a）外力功如破壞時(shí)四角可以翹起。（2）機(jī)動(dòng)法,如圖（g）設(shè)此梁在和處形成塑性鉸，則，內(nèi)力功為外力功為 由虛功原理 得由極值條件得代入的表達(dá)式，則得的極小值由于此結(jié)果滿足，故所得的值為完全解的極限載荷。解2：（1）靜力法先將該超靜定梁化為靜定梁（）、（），分別作彎矩圖，疊加得該超靜定梁的彎矩圖（）設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)彎矩方程為：在極限狀態(tài)時(shí)，有令得 （1）而 （2） （3）聯(lián)立解（1）、（2）、（3）得解得取較大的值，可得在以上值作用下，梁已形成破壞機(jī)構(gòu)，故其解為完全解。分別求出其彎矩圖，然后疊加，得該超靜定梁的彎矩圖（）在極限情況下設(shè)點(diǎn)支反力為，則：由上二式得當(dāng)值達(dá)到上述數(shù)值時(shí)，結(jié)構(gòu)形成破壞機(jī)構(gòu)，故為該梁的完全解。 （2）Tresca屈服條件，在平面內(nèi)求得主應(yīng)力如下： (a)由于，而，即即 (b)由流動(dòng)法則，這要求應(yīng)力點(diǎn)處在屈服面上，即 (c）并要求，或 (d)由 代入(d)式，得 由代入，得 第十一章 習(xí)題答案。（1）Mises屈服條件。在塑性應(yīng)變?cè)隽糠矫?，由于，而。因此進(jìn)入塑性后還滿足。，在彈性階段有 得 平均應(yīng)力 因此在彈性階段有，進(jìn)入塑性后有 對(duì)平均應(yīng)變 剛進(jìn)入塑性時(shí)。：是均布?jí)毫^(qū)，在邊上點(diǎn)：由得：；是均布?jí)毫^(qū)，在邊上點(diǎn)：，可計(jì)算出。分別寫出邊上應(yīng)力分量值，列平衡方程 （*） 求得因?yàn)檠赝粭l線，由可得；在邊上的點(diǎn)，所以，得。因?yàn)槭峭粭l線，有，化簡(jiǎn)得，則單位長度上的極限載荷為。第十章 習(xí)題答案：設(shè)為缺口處因摩擦作用而產(chǎn)生的剪應(yīng)力。：二端封閉在處，代入Mises屈服條件，化簡(jiǎn)可得；用同樣的方法可求得二端自由時(shí)，；二端約束時(shí)。：在本題中，根據(jù)公式；卸載后殘余應(yīng)變曲率為，結(jié)合。第九章 習(xí)題答案：設(shè)剪切屈服極限為，則可以依次求得彈性極限扭矩為：；塑性極限扭矩為：；設(shè)彈塑性區(qū)分界線半徑為，則。 解：（1）單向拉伸應(yīng)力狀態(tài) 有 則 （2）純剪切應(yīng)力狀態(tài)， 有 故 證明：有Coulomb剪破條件 所在平面為滑移面，如圖。： 將對(duì)求偏導(dǎo)，可得，同理可得，所以；用同樣的方法求得。則得，彈性階段；屈服階段；強(qiáng)化階段。第八章 習(xí)題答案：本題中是由塑性體積變形為零：且單向拉伸時(shí)，推出。解：(1) Mises屈服準(zhǔn)則引進(jìn)下列量綱為一的量則上式成為(2) Tresca屈服準(zhǔn)則記， 根據(jù)的大小，將由下列值 （a）屈服準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的為量綱化為一后得答案結(jié)果（3） 雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則將（a）式代入上式中得到6個(gè)式子，可合并成4個(gè)關(guān)系。 在平面應(yīng)力問題中，取，試將Mises和Tresca和雙剪應(yīng)力 屈服條件用三個(gè)應(yīng)力分量表示。解：研究半球的靜力平衡內(nèi)球面：，外球面：