【正文】 FP→＝ x2＋ 2 x ＋ y2. 又 ∵ y2＝x23－ 1 ， ∴ OP→福建卷 ) 若點(diǎn) O 和點(diǎn) F ( － 2 , 0 ) 分別為雙曲線x2a2 － y2＝ 1( a 0 ) 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為雙曲線右支上的任意一點(diǎn)，則 OP→ | BC→|＝3c o s 〈 AB→， BC→〉， 又 S △ ABC ＝12| AB→| BC→＝ 3 得 | AB→| 福建省德化一中月考 ) 在 △ A B C 中， AB→ . ∴ x ＋ y 有最大值 2 ，當(dāng) α ＝ 60176。 ≤ α ＋ 30176。 ≤ α ≤ 120176。 ) ，即B????????－12，32. 設(shè) ∠ A O C ＝ α ，則 OC→＝ ( c o s α ， si n α ) ． ∵ OC→＝ x OA→＋ y OB→＝ ( x, 0) ＋????????－y2，32y ＝ ( c o s α ， si n α ) ， ∴????? x －y2＝ c o s α ，32y ＝ si n α ，∴????? x ＝si n α3＋ c o s α ，y ＝2 si n α3， ∴ x ＋ y ＝ 3 si n α ＋ c o s α ＝ 2 si n ( α ＋ 3 0 176。 ，如右圖所示，點(diǎn) C 在以 O 為圓心的圓弧 AB 上變動，若 OC→ ＝ x OA→ ＋ y OB→ ，其中 x ， y ∈ R ，則 x ＋ y 的最大值是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 課堂記錄 ] 建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 A ( 1 , 0 ) ， B ( c o s1 2 0 176。 c o s C) ＝ λ ( － | BC→|＋ | BC→|) ＝ 0. 故 AP ⊥ BC ， P 點(diǎn)的軌跡一定通過 △ A BC 的垂心． 答案： (1)D (2)B 熱點(diǎn)之四 平面向量的應(yīng)用 向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個熱點(diǎn)，在處理這類問題時，除注意三角公式的合理應(yīng)用外，要特別注意有關(guān)向量的數(shù)量積、向量的夾角、向量模的公式的準(zhǔn)確使用． [ 例 4] ( 2 0 0 9 c o s B＋AC→BC→＝ λ (AB→ c o s B＋AC→ | AC→| OC→，得 OB→OA→，則點(diǎn) O 是 △ A BC 的 ( ) A ．內(nèi)心 B ．外心 C ．重心 D ． 垂心 ( 2 ) O 是平面上一定點(diǎn)， A 、 B 、 C 是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn) P 滿足 OP→＝OA→＋ λ (AB→ | AB→| c o s B＋AC→ | AC→| c o s C) ， λ ∈ [0 ，＋ ∞ ) ，則 P 點(diǎn)的軌跡一定通過 △ A BC 的( ) A ．重心 B ． 垂心 C ．內(nèi)心 D ． 外心 解析： ( 1 ) 由 OA→ OB→＝ OB→( k a － b ) ＝ 0 ， ∴ k a2＋ (2 k － 1) a b ＋ b2＝ 16 ＋ 2 ( － 16) ＋ 64 ＝ 48. ∴ | a ＋ b |＝ 4 3 . ② |4 a － 2 b |2＝ 16 a2－ 16 a . (1)計(jì)算： ① |a＋ b|， ② |4a－ 2b|； (2)當(dāng) k為何值時， (a＋ 2b)⊥ (ka－ b)? [ 課堂記錄 ] 由已知 ， a b＋ b2； ③ 若 a＝ (x， y)，則 |a|＝ 2．非零向量 a⊥ b?a b|2＝ a2177。 c| b || c |＝44 2＝12. 又 ∵ α ∈ [0 ， π ] ， ∴ α ＝π3. 熱點(diǎn)之三 向量的模與垂直問題 1． 利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： ① |a|2＝ a2＝ a c － 4 ＝ 4 3 － 4 ＝ 8 ， ∴ b c ＝ 3 ， ∴ 2 b c － 2 b c ＝ 3 ， | b |＝ 4 ，求向量 b 與 c 的夾角 α . 解： ∵ 4 a － 2 b ＝ ( － 2 , 2 3 ) ， c ＝ (1 ， 3 ) ， ∴ (4 a － 2 b ) b ＋ b2＝ 1 ＋ 2 12＋12＝52， ∴ | a ＋ b |＝102， 設(shè) a － b 與 a ＋ b 的夾角為 α ， 則 c o s α ＝? a － b ? 22＝22， 又 ∵ θ ∈ [0 ， π ] ， ∴ θ ＝π4. ( 2 ) ∵ ( a － b )2＝ a2－ 2 a ( a ＋ b ) ＝12， ∴ | a |2－ | b |2＝12， 又 ∵ | a |＝ 1 ， ∴ | b |＝ | a |2－12＝22. 設(shè) a 與 b 的夾角為 θ ，則 c o s θ ＝a b ＝12 ， ( a － b ) CB→ ＝－ 2. 熱點(diǎn)之二 向量的夾角問題 1． 當(dāng) a， b是非坐標(biāo)形式時，求 a與 b的夾角．需求得 a MB→ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 答案： － 2 解析： 選擇 CA→ ， CB→ 作為平面向量的一組基底，則 MA→ ＝ CA→ － CM→ ＝13 CA→ － 16CB→ ， MB→ ＝ CB→ － CM→ ＝56 CB→ － 23 CA→ ， ∴ MA→ b| b | .故向量 a 在 b 方向上的投影為a c ) a ＝ 0 a ＝ 0. ( 2 ) a ＋ λ b ＝ ( 1 , 2 ) ＋ λ (2 ，－ 2) ＝ (2 λ ＋ 1 , 2 － 2 λ ) ， 由于 a ＋ λ b 與 a 垂直， ∴ 2 λ ＋ 1 ＋ 2 ( 2 － 2 λ ) ＝ 0 ， ∴ λ ＝52. ∴ λ 的值為52. ( 3 ) 設(shè)向量 a 與 b 的夾角為 θ ， 向量 a 在 b 方向上的投影為 | a | c o s θ . ∴ | a | c o s θ ＝a c)a； (2)若 a＋ λb與 a垂直，求 λ的值； (3)求向量 a在 b方向上的投影． [ 思路探究 ] 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 → 兩向量垂直的充要條件 → 投影的定義、公式 [ 課堂記錄 ] ( 1 ) ∵ a ＝ ( 1 , 2 ) ， b ＝ (2 ，－ 2) ， ∴ c ＝ 4 a ＋ b ＝ ( 4 , 8 ) ＋ (2 ，－ 2) ＝ ( 6 , 6 ) ． ∴ b b 滿足 | a | ＝ 1 ， | b | ＝ 2 ，且 a 與 b 的夾角為 π3 ，則 | a ＋ b |＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： | a ＋ b |＝ ? a ＋ b ? 2 ＝ | a | 2 ＋ 2 a AB→ 的值等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 答案： － 25 解析： 由已知得 △ A B C 為 直角三角形， 且 B ＝ 90176。 BC→ ＋BC→ b － 3| b |2 ＝ 16 ＋ 2 | b |－ 3| b |2＝ 12 ， 解得 | b |＝ 2 或 | b |＝－232 ( 舍去 ) ． b 在 a 上的投影為 | b | c o s 〈 a ， b 〉＝ 2 c o s4 5 176。 ＝ 2 2 | b |， 又 (12a ＋ b ) b ＝ | a | ，且 | a | ＝ 4 ， ( 12 a ＋ b ) b| a || b |＝31 6＝12， ∴ a 與 b 的夾角為π3. 2 ．已知向量 a ＝ ( 1 , 2 ) ， b ＝ (2 ，－ 3) ．若向量 c 滿足 ( c ＋ a ) ∥ b ， c ⊥ ( a ＋ b ) ，則c ＝ ( ) A ． (79，73) B ． ( －73，－79) C ． (73，79) D ． ( －79，－73) 答案： D 解析： 設(shè) c ＝ ( x ， y ) ，則 c ＋ a ＝ ( x ＋ 1 ， y ＋ 2) ， 又 ( c ＋ a ) ∥ b ， ∴ 2( y ＋ 2) ＋ 3( x ＋ 1) ＝ 0. ① 又 c ⊥ ( a ＋ b ) ， ∴ ( x ， y ) b ＝ 2 ＋ a 2 ＝ 3. ∴ c o s 〈 a ( b － a ) ＝ a x 2 2＋ y 2 2 5．平面向量與三角函數(shù)的整合，仍然是以三角題型為背景的一種向量描述．它需要根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的相關(guān)知識來解答，三角知識是考查的主體． 6．向量在幾何中的應(yīng)用 (1)由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由 _________________及 ____________表示出來． (2)向量解決幾何問題的 “ 三步曲 ”． ① 建立幾何與向量的聯(lián)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為 __________問題； ② 通過 __________的運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系； ③ 把運(yùn)算結(jié)果 “ 翻譯 ” 成幾何關(guān)系． 7．向量在物理中的應(yīng)用 由于物理中的力、速度、位移等量是特殊的 __________，因而可以用 __________來解決物理上的一些問題． 向量的線性運(yùn)算 數(shù)量積運(yùn)算 向量 向量 向量 向量 課 前 自 測 1 ．已知 | a |＝ 1 ， | b | ＝ 6 ， a c. 4． 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1)若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 ac＝ ab)＝ aa(交換律 )． (2)λab＝ 0 3． 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a|b||b|b| a | b的幾何意義：數(shù)量積 ab，即 a????????12，12＝14－14＝ 0 ； D 項(xiàng)， ∵ 1 12－ 0 12≠ 0 ， ∴ a 不平行于 b .故選 C. 2． (2022 b ＝ 1 12＋ 0 12＝12； C 項(xiàng)， ∵ a － b ＝ ( 1 , 0 ) －????????12，12＝????????12，－12， ∴ ( a － b )安徽卷 ) 設(shè)向量 a ＝ ( 1 , 0 ) ， b ＝????????12，12，則下列結(jié)論中正確的是 ( ) A ． | a | ＝ | b | B ． a b)2＝ |a|2|b|2 [解析 ] A項(xiàng)， a與 b共線，則 ?λ∈ R使得 a＝ λb則有 m＝ λp， n＝ λq， a⊙ b＝ λpq－ λpq＝ 0； B項(xiàng)， b⊙ a＝ np－ mq＝－ (a⊙ b)； C項(xiàng)， (λa)⊙ b＝ (λm， λn)⊙ (p， q)＝ λmq－ λnp＝ λ(mq－ np)＝ λ(a⊙ b)； D項(xiàng)， (a⊙ b)2＋ (a ， ∴ b ＝ λ a ( λ 0 ) ， ∴ | b |＝ | λ || a |，又 | a |＝ 5 ， | b |＝ 3 5 ， ∴ λ ＝－ 3 ， ∴ b ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ＝ ( － 3 , 6 ) ． 解法三： 注意到 A 、 B 、 C 、 D 四個選項(xiàng)均滿足條件 | b |＝ 3 5 ，所以關(guān)鍵是利用好夾角這個已知條件，易知 ( － 3 , 6 ) ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ，所以選 A. [思維拓展 ] (1)本題主要涉及平面向量的模、夾角、共線的充要條件等基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)算能力、分析能力和數(shù)形結(jié)合能力．注意 “ 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，a∥ b的充要條件是 x1y2－ x2y1＝ 0.” 的使用； (2)解法一用的是待定系數(shù)法，體現(xiàn)了方程的思想，關(guān)鍵是將題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有未知數(shù)的兩個方程； (3)在解題時，要靈活地運(yùn)用不同的方法，如利用數(shù)形結(jié)合，則可以直觀地得到結(jié)果．