【正文】 (x1＋ x2， y1＋ y2) (x1－ x2， y1－ y2) (λx1， λy1) 終點(diǎn) 始點(diǎn) x1y2－ x2y1＝ 0 7 ． ( 1 ) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ，則 P 1 P 2 的中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x 1 ＋ x 22，y 1 ＋ y 22) ． ( 2 ) P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) ， P 3 ( x 3 ， y 3 ) ，則 △ P 1 P 2 P 3 的重心 P 的坐標(biāo)為 ( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ) ． x1＋ x2＋ x33 y1＋ y2＋ y33 課 前 自 測(cè) 1．若向量 a＝ (1,1)， b＝ (－ 1,1)， c＝ (4,2)，則 c＝ ( ) A． 3a＋ b B． 3a－ b C．－ a＋ 3b D． a＋ 3b 答案： B 解析： 設(shè) c ＝ λ a ＋ μ b ， 則 ( 4 , 2 ) ＝ ( λ － μ ， λ ＋ μ ) ， 即????? λ － μ ＝ 4 ，λ ＋ μ ＝ 2.解得????? λ ＝ 3 ，μ ＝－ 1 ， ∴ c ＝ 3 a － b . 2．已知 a＝ (4,5)， b＝ (8， y)且 a∥ b，則 y等于 ( ) A． 5 B． 10 ． 15 解析： ∵ a∥ b， ∴ 4y－ 40＝ 0得 y＝ 10. 答案： B 3 ．正三角形 A B C 中， AB→ 與 BC→ 的夾角為 ( ) A ． 60176。 . 4 ．已知四邊形 A B C D 的三個(gè)頂點(diǎn) A ( 0 , 2 ) ， B ( － 1 ，－ 2) ， C ( 3 , 1 ) ，且 BC→ ＝2 AD→ ，則頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( ) A.????????2 ，72 B.????????2 ，－12 C ． ( 3 , 2 ) D ． ( 1 , 3 ) 答案： A 解析： 設(shè) D ( x ， y ) ， AD→＝ ( x ， y － 2) ， BC→＝ ( 4 , 3 ) ， 又 BC→＝ 2 AD→， ∴????? 4 ＝ 2 x ，3 ＝ 2 ? y － 2 ? ，∴????? x ＝ 2 ，y ＝72， 即點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (2 ，72) ． 5 ．在平行四邊形 A B C D 中， E 和 F 分別是邊 CD 和 BC 的中點(diǎn)，若 AC→ ＝ λ AE→ ＋μ AF→ ，其中 λ 、 μ ∈ R ，則 λ ＋ μ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b ， 那么 AE→＝12a ＋ b ， AF→＝ a ＋12b . 又 ∵ AC→＝ a ＋ b ， ∴ AC→＝23( AE→＋ AF→) ， 即 λ ＝ μ ＝23， ∴ λ ＋ μ ＝43. 答案：43 熱點(diǎn)分類講練 點(diǎn)擊重點(diǎn)難點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)題型 熱點(diǎn)之一 平面向量基本定理及其應(yīng)用 1． 以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同． 2． 對(duì)于兩個(gè)向量 a， b，將它們用同一組基底表示，我們可通過(guò)分析這兩個(gè)表示式的關(guān)系，來(lái)反映 a與 b的關(guān)系． 3．利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算． 提醒： 一組基底中，必不含有零向量． [ 例 1] 已知梯形 A B C D ，如右圖所示， 2 DC→ ＝ AB→ ， M 、 N 分別為 AD 、 BC 的中點(diǎn)．設(shè) AD→ ＝ e 1 ， AB→ ＝ e 2 ，試用 e 1 ， e 2 表示 DC→ ， BC→ ， MN→ . [ 課堂記錄 ] ∵ 2 DC→＝ AB→， ∴ 2 DC→＝ e 2 ， ∴ DC→＝12e 2 . 又 ∵ BC→＝ BA→＋ AD→＋ DC→， ∴ BC→＝－ e 2 ＋ e 1 ＋12e 2 ＝ e 1 －12e 2 . 又由 MN→＝ MA→＋ AB→＋ BN→得 MN→＝12DA→＋ AB→＋12BC→ ＝－12e 1 ＋ e 2 ＋12( e 1 －12e 2 ) ＝34e 2 . [ 思路探究 ] 由已知 AD→ ＝ e 1 ， AB→ ＝ e 2 ， 2 DC→ ＝ AB→→ 利用向量共線，三角形法則 → 求解 即時(shí)訓(xùn)練： 如右圖，在平行四邊形 A B C D 中， M ， N 分別為 DC ， BC 的中點(diǎn)，已知 AM→ ＝ c ， AN→ ＝ d ，試用 c ， d 表示 AB→ ， AD→ . 解法一： 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b ， 則 a ＝ AN→＋ NB→＝ d ＋ ( －12b ) ① b ＝ AM→＋ MD→＝ c ＋ ( －12a ) ② 將 ② 代入 ① 得 a ＝ d ＋ ( －12)[ c ＋ ( －12a )] ? a ＝43d －23c ，代入 ② 得 b ＝ c ＋ ( －12)(43d －23c ) ＝43c －23d . 即 AB→＝43d －23c ， AD→＝43c －23d . 解法二： 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ b . 因?yàn)?M ， N 分別為 CD ， BC 的中點(diǎn)， 所以 BN→＝12b ， DM→＝12a ， 因而????? c ＝ b ＋12ad ＝ a ＋12b?????? a ＝23? 2 d － c ?b ＝23? 2 c － d ?， 即 AB→＝23(2 d － c ) ， AD→＝23(2 c － d ) ． 熱點(diǎn)之二 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1． 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用． 2． 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題．主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程 (組 )進(jìn)行求解． [ 例 2] 已知 A ( － 1 , 2 ) ， B ( 2 , 8 ) ， AC→ ＝ 13 AB→ ， DA→ ＝－ 13 BA→ ，求點(diǎn) C 、 D 和向量CD→ 的坐標(biāo)． [ 思路探究 ] 待定系數(shù)法設(shè)定點(diǎn) C 、 D 的坐標(biāo)，再根據(jù)向量 AC→ ， AB→ ， DA→ 和CD→ 關(guān)系進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算，用方程思想解之． [ 課堂記錄 ] 設(shè) C 、 D 的坐標(biāo)為 ( x1， y1) 、 ( x2， y2) ． 由題意得 AC→＝ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ， AB→＝ ( 3 , 6 ) DA→＝ ( － 1 － x2,2 － y2) ， BA→＝ ( － 3 ，－ 6) 又 AC→＝13AB→， DA→＝－13BA→ ∴ ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ＝13( 3 , 6 ) ， ( － 1 － x2,2 － y2) ＝－13( － 3 ，－ 6) 即 ( x1＋ 1 ， y1－ 2) ＝ ( 1 , 2 ) ， ( － 1 － x2,2 － y2) ＝ ( 1 , 2 ) ∴ x1＋ 1 ＝ 1 且 y1－ 2 ＝ 2 ，－ 1 － x2＝ 1 且 2 － y2＝ 2 ， ∴ x1＝ 0 且 y1＝ 4 ， x2＝－ 2 且 y2＝ 0. ∴ 點(diǎn) C 、 D 和向量 CD→的坐標(biāo)分別為 ( 0 , 4 ) 、 ( － 2 , 0 ) 和 ( － 2 ，－ 4) ． 即時(shí)訓(xùn)練： 已知點(diǎn) A ( － 1 ，－ 5) 和向量 a ＝ ( 2 , 3 ) ，若 AB→ ＝ 3 a ，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 答案： (5,4) 解析： 設(shè) B ( m ， n ) ，則 AB→ ＝ ( m ＋ 1 ， n ＋ 5) ＝ 3 a ＝ 3 ( 2 , 3 ) ＝ ( 6 , 9 ) ， ∴ m ＋ 1 ＝ 6 ，n ＋ 5 ＝ 9. ∴ m ＝ 5 ， n ＝ 4. 熱點(diǎn)之三 平面向量共線的坐標(biāo)表示 1． 凡遇到與平行有關(guān)的問題時(shí)，一般要考慮運(yùn)用向量平行的充要條件． 2． 兩個(gè)向量共線的充要條件在解題中具有重要的應(yīng)用，一般地，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的值，則利用 “ 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 a∥ b的充要條件是 x1y2－ x2y1＝ 0” 比較簡(jiǎn)捷． 3．在求與一個(gè)已知向量 a共線的向量時(shí)，采取待定系數(shù)法更為簡(jiǎn)單，即設(shè)所求向量為 λa(λ∈ R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于 λ的方程，求出 λ的值后代入 λa即可得到欲求向量，這樣可以使未知數(shù)的個(gè)數(shù)少一些，便于求解． [ 例 3] 若平面向量 b 與向量 a ＝ (1 ，－ 2) 的夾角是 180176。b)2＝ (mq－ np)2＋ (mp＋ nq)2＝ m2q2＋n2p2＋ m2p2＋ n2q2＝ (m2＋ n2)(p2＋ q2)＝ |a|2|b|2. [答案 ] B 自 主 體 驗(yàn) 1 ． ( 2 0 1 0 b＝ _______________ ，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 __________． (2) __________ 叫做向量 b在 a方向上的投影 (θ為向量 a與 b的夾角 )． (3)acosθ 零 |b|cosθ |b|cosθ ac＋ bb 〉＝a ( 2a － 3 b ) ＝ | a |2＋12a b ＋ | b | 2 ＝ 1 ＋ 2 1 2 c o sπ3 ＋ 4 ＝ 7 . 答案： 7 熱點(diǎn)分類講練 點(diǎn)擊重點(diǎn)難點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)題型 熱點(diǎn)之一 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 1． 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2． 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．向量的數(shù)量積是向量之間的一種運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法． [例 1] 已知向量 a＝ (1,2)， b＝ (2，－ 2)． (1)設(shè) c＝ 4a＋ b，求 (bMB→ ＝－ 29 C A→ 2 － 536 CB→ 2 ＋ 718 CA→ b ＋ b2 ＝ 1 － 2 12＋12＝12， ∴ | a － b |＝22. ( a ＋ b )2＝ a2＋ 2 a c ＝ 4 a b＝ 0是非常重要的性質(zhì)，它對(duì)于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握，若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 a⊥ b?x1x2＋y1y2＝ 0. x2＋ y2 [例 3] 已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a與 b的夾角是 120176。OC→＝ OC→ BC→ | AB→| ) ． ∵ 0176。 BC→ ＝ 3 ， S △ ABC ∈[32，3 32] ，則 AB→ 與 BC→ 夾角的取值范圍是 ( ) A ． [π4，π3] B ． [π6，π4] C ． [π6，π3] D ． [π3，π2] 答案： C 解析： 由 AB→FP→＝ x2＋ 2 x ＋x23－ 1 ＝43x2＋ 2 x － 1 ＝43???