【正文】 ， b＝ (p， q)，令 a⊙ b＝ mq－ ( ) A．若 a與 b共線，則 a⊙ b＝ 0 B． a⊙ b＝ b⊙ a C．對任意的 λ∈ R，有 (λa)⊙ b＝ λ(a⊙ b) D． (a⊙ b)2＋ (ab)2＝ (mq－ np)2＋ (mp＋ nq)2＝ m2q2＋n2p2＋ m2p2＋ n2q2＝ (m2＋ n2)(p2＋ q2)＝ |a|2|b|2. [答案 ] B 自 主 體 驗(yàn) 1 ． ( 2 0 1 0 b ＝22 C ． a － b 與 b 垂直 D ． a ∥ b 答案： C 解 析： A 項(xiàng)， ∵ | a |＝ 1 ， | b |＝????????122＋????????122＝22， ∴ | a | ≠ | b |； B 項(xiàng)， ∵ a b ＝????????12，－12陜西卷 )已知向量 a＝ (2，－ 1)， b＝ (－ 1， m)， c＝ (－ 1,2)，若 (a＋b)∥ c，則 m＝ ________. 答案： － 1 解析： ∵ a ＋ b ＝ (2 ，－ 1) ＋ ( － 1 ， m ) ＝ (1 ， m － 1) ， c ＝ ( － 1 , 2 ) ， 又 ( a ＋ b ) ∥ c ， ∴1－ 1＝m － 12 ， ∴ m ＝－ 1. 為方便教學(xué)使用，本部分單獨(dú)裝訂成活頁裝，請做課時(shí)作業(yè) (25) 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用舉例 ． 2． 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 5．會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題． 6．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題 . 基礎(chǔ)自主梳理 梳理基礎(chǔ)知識 檢測自身能力 1． 平面向量數(shù)量積的定義 (1)已知兩個(gè)非零向量 a和 b，它的夾角為 θ，則數(shù)量 _______________ 叫做 a與 b的數(shù)量積 (或內(nèi)積 )，記作 ab＝ _______________ ，并規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為 __________． (2) __________ 叫做向量 b在 a方向上的投影 (θ為向量 a與 b的夾角 )． (3)ab等于 a的長度 |a|與 b在 a的方向上的投影 ________ 的乘積． 2． 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)a⊥ b? __________. 知 識 梳 理 ( 2 ) c o s θ ＝ a | b |( θ 為兩向量夾角 ) ． |a|cosθ |a|cosθ 零 |b|cosθ |b|cosθ ab＝ bb＝ λ(a(λb)． (3)(a＋ b)c＋ bb＝ __________. ( 2 ) 設(shè) a ＝ ( x ， y ) ，則 | a | ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 3 ) 若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， AB→ ＝ a ，則 | a | ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 4 ) 設(shè) a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) 則 a ⊥ b ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 5 ) 若 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ，則 a ， b 的夾角為 θ ，則有 c o s θ ＝_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x1x2＋ y1y2 x2＋ y2 ? x 1－ x 2 ? 2＋ ? y 1－ y 2 ? 2 x1x2＋ y1y2＝ 0 x 1 x 2＋ y 1 y 2x 1 2＋ y 1 2 ( b － a ) ＝ 2 ，則向量 a 與 b 的夾角是 ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案： C 解析： ∵ a b － a 2 ＝ 2 ， ∴ a b 〉＝a ( 3 ，－ 1) ＝ 3 x － y ＝ 0. ② 解 ①② 得 x ＝－79， y ＝－73. 3 ．已知向量 a 、 b 的夾角為 45176。 ( 2 a － 3 b ) ＝ 12 ，則 | b |＝_ _ _ _ _ _ _ _ ； b 在 a 方向上的投影等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析： a | b | c o s 〈 a ， b 〉 ＝ 4| b | c o s4 5 176。( 2a － 3 b ) ＝ | a |2＋12a ＝ 1. 答案： 2 1 4 ．已知平面上三點(diǎn) A 、 B 、 C 滿足 | AB→ | ＝ 3 ， | BC→ | ＝ 4 ， | CA→ | ＝ 5 ，則 AB→ CA→ ＋ CA→ ， c o s A ＝35， c o s C ＝45. ∴ 原式＝ |BC→ || CA→ | c o s( π － C ) ＋ | CA→ || AB→ | c o s( π － A ) ＝ 4 5 ????????－45＋ 5 3 ????????－35＝－ 25. 5 ．若向量 a b ＋ | b | 2 ＝ 1 ＋ 2 1 2 c o sπ3 ＋ 4 ＝ 7 . 答案： 7 熱點(diǎn)分類講練 點(diǎn)擊重點(diǎn)難點(diǎn) 關(guān)注熱點(diǎn)題型 熱點(diǎn)之一 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 1． 理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2． 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．向量的數(shù)量積是向量之間的一種運(yùn)算，它是向量與向量的運(yùn)算，結(jié)果卻是一個(gè)數(shù)量．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法． [例 1] 已知向量 a＝ (1,2)， b＝ (2，－ 2)． (1)設(shè) c＝ 4a＋ b，求 (b c ＝ 2 6 － 2 6 ＝ 0 ， ∴ ( b b| b |＝1 2 ＋ 2 ? － 2 ?22＋ ? － 2 ?2＝－22 2＝－22. [ 思維拓展 ] 向量 a 在 b 方向上的投影為 | a | c o s θ ( θ 為 a 與 b 的夾角 ) ．而 | a | c o s θ ＝a b| b | .將此結(jié)論作為一個(gè)公式記憶． 即時(shí)訓(xùn)練： 若等邊 △ A B C 的邊長為 2 3 ，平面內(nèi)一點(diǎn) M 滿足 CM→ ＝ 16 CB→ ＋ 23CA→ ，則 MA→ MB→ ＝－ 29 C A→ 2 － 536 CB→ 2 ＋ 718 CA→ b及 |a|， |b|或得出它們的關(guān)系． 2． 若已知 a與 b的坐標(biāo)，則可直接利用公式 c o s θ ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2x1 2 ＋ y 1 2 x 2 2 ＋ y 2 2. [ 例 2] 已知 | a |＝ 1 ， a ( a ＋ b ) ＝12 ， 求： ( 1 ) a 與 b 的夾角； ( 2 ) a － b 與 a ＋ b 的夾角的余弦值． [思路探究 ] (1)由 (a－ b)和 (a＋ b)的數(shù)量積可得出 |a|、 |b|的關(guān)系． (2)計(jì)算 a－ b和 a＋ b的模． [ 課堂記錄 ] ( 1 ) ∵ ( a － b ) b| a || b |＝121 b ＋ b2 ＝ 1 － 2 12＋12＝12， ∴ | a － b |＝22. ( a ＋ b )2＝ a2＋ 2 a ? a ＋ b ?| a － b || a ＋ b |＝1222102＝55. 即時(shí)訓(xùn)練： 已知向量 4 a － 2 b ＝ ( － 2 , 2 3 ) ， c ＝ (1 ， 3 ) ， a c ＝－ 2 ＋ 6 ＝ 4 ， 即 4 a c ＝ 4. 又 ∵ a c ＝ 4 a c ＝ 4 ， ∴ c o s α ＝b a； ② |a177。 2ab＝ 0是非常重要的性質(zhì)，它對于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握，若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，則 a⊥ b?x1x2＋y1y2＝ 0. x2＋ y2 [例 3] 已知 |a|＝ 4， |b|＝ 8， a與 b的夾角是 120176。b ＝ 4 8 ( －12) ＝－ 16. ( 1 ) ①∵ | a ＋ b |2＝ a2＋ 2 a b ＋ 4 b2 ＝ 16 16 － 16 ( － 16) ＋ 4 64 ＝ 3 162， ∴ |4 a － 2 b |＝ 16 3 . ( 2 ) 若 ( a ＋ 2 b ) ⊥ ( k a － b ) ，則 ( a ＋ 2 b ) b － 2 b2＝ 0. 16 k － 1 6 ( 2 k － 1) － 2 64 ＝ 0 ， ∴ k ＝－ 7. 即時(shí)訓(xùn)練 ： ( 1 ) 點(diǎn) O 是三角形 A BC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足： OA→OC→＝ OC→ OB→＝ OB→AC→＝ 0 ，即 OB→⊥ AC→，同理 OA→⊥ BC→，OC→⊥ AB→.故選 D. ( 2 ) 由 OP→＝ OA→＋ λ (AB→ | AB→| c o s B＋AC→ | AC→| c o s C) ， λ ≥ 0 ，得 AP→＝ λ (AB→ | AB→| c o s C) ． 則 AP→ BC→ | AB→| BC→ | AC→| 安徽卷 ) 給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量 OA→ 和 OB→ ，它們的夾角為120176。 ， si n 1 2 0 176。 ) ． ∵ 0176。 ， ∴ 30176。 ≤ 1 5 0 176。 時(shí)取得最大值 2. [思維拓展 ] 本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，單位圓上的點(diǎn)的設(shè)法以及建立目標(biāo)函數(shù)求最值等知識，求解時(shí)，首先應(yīng)建立直角坐標(biāo)系． 即時(shí)訓(xùn)練： ( 2 0 1 0 BC→ ＝ 3 ， S △ ABC ∈[32，3 32] ，則 AB→ 與 BC→ 夾角的取值范圍是 ( ) A ． [π4，π3] B ． [π6，π4] C ． [π6，π3] D ． [π3，π2] 答案： C 解析： 由 AB→| BC→| c o s 〈 AB→， BC→〉＝ 3 ， 即得 | AB→| | BC→| si n 〈 AB→， BC→〉， 所以 S △ ABC ＝32t a n 〈 AB→， BC→〉 ∈ [32，3 32] ， 即得 t a n 〈 AB→， BC→〉 ∈ [33， 3 ] ，選 C. 高考動態(tài)研究 感悟高考真題 檢驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)技能 直 指 考 向 從近兩年的高考試題來看，向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的垂直等問題是高考中考查平面向量的熱點(diǎn)，既有選擇題、填空題，又有解答題，屬中低檔題目，常與平面幾何、三角、解析幾何知識交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想． 經(jīng) 典 考 題 [ 例 5] ( 2 0 1 0 FP→ 的取值范圍為 ( ) A ． [3 － 2 3 ，＋ ∞ ) B ． [3 ＋ 2 3 ，＋ ∞ ) C.????????－74，＋ ∞ D.????????74，＋ ∞ [ 解析 ] ∵ a2＋ 1 ＝ 22＝ 4 ， ∴ a2＝ 3 ， ∴ 雙曲線的方程為x23－ y2＝ 1 ， 設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( x ， y ) ， 則 OP→＝ ( x ， y ) ， FP→＝ ( x ＋ 2 ， y ) ， ∴ OP→FP→＝ x2＋ 2 x ＋x23－ 1 ＝43x2＋ 2 x － 1 ＝43???