【正文】 －35＝－ 25. 5 ．若向量 a b － a 2 ＝ 2 ， ∴ a cosθ |a|山東卷 )定義平面向量之間的一種運算 “ ⊙ ” 如下：對任意的 a＝(m， n)， b＝ (p， q)，令 a⊙ b＝ mq－ ( ) A．若 a與 b共線，則 a⊙ b＝ 0 B． a⊙ b＝ b⊙ a C．對任意的 λ∈ R，有 (λa)⊙ b＝ λ(a⊙ b) D． (a⊙ b)2＋ (a山東卷 ) 設(shè) P 是 △ A B C 所在平面內(nèi)的一點， BC→ ＋ BA→ ＝ 2 BP→ ，則 ( ) A. PA→ ＋ PB→ ＝ 0 B. PC→ ＋ PA→ ＝ 0 C. PB→ ＋ PC→ ＝ 0 D. PA→ ＋ PB→ ＋ PC→ ＝ 0 答案： B 解析： ∵ BC→ ＋ BA→ ＝ 2 BP→ ，由向量加法的平行四邊形法則知 P 為 AC 的中點．如下圖． ∴ PC→ ＋ PA→ ＝ 0. 2 ． ( 2 0 1 0 D ． 90176。 b ＝ 1 12＋ 0 12＝12； C 項， ∵ a － b ＝ ( 1 , 0 ) －????????12，12＝????????12，－12， ∴ ( a － b )a(交換律 )． (2)λa ，且 | a | ＝ 4 ， ( 12 a ＋ b ) c ) a ＝ 0 a ＝ 0. ( 2 ) a ＋ λ b ＝ ( 1 , 2 ) ＋ λ (2 ，－ 2) ＝ (2 λ ＋ 1 , 2 － 2 λ ) ， 由于 a ＋ λ b 與 a 垂直， ∴ 2 λ ＋ 1 ＋ 2 ( 2 － 2 λ ) ＝ 0 ， ∴ λ ＝52. ∴ λ 的值為52. ( 3 ) 設(shè)向量 a 與 b 的夾角為 θ ， 向量 a 在 b 方向上的投影為 | a | c o s θ . ∴ | a | c o s θ ＝a c ＝ 3 ， | b |＝ 4 ，求向量 b 與 c 的夾角 α . 解： ∵ 4 a － 2 b ＝ ( － 2 , 2 3 ) ， c ＝ (1 ， 3 ) ， ∴ (4 a － 2 b )b ＋ b2＝ 16 ＋ 2 ( － 16) ＋ 64 ＝ 48. ∴ | a ＋ b |＝ 4 3 . ② |4 a － 2 b |2＝ 16 a2－ 16 a c o s C) ＝ λ ( － | BC→|＋ | BC→|) ＝ 0. 故 AP ⊥ BC ， P 點的軌跡一定通過 △ A BC 的垂心． 答案： (1)D (2)B 熱點之四 平面向量的應(yīng)用 向量與三角函數(shù)結(jié)合是高考命題的一個熱點，在處理這類問題時，除注意三角公式的合理應(yīng)用外，要特別注意有關(guān)向量的數(shù)量積、向量的夾角、向量模的公式的準(zhǔn)確使用． [ 例 4] ( 2 0 0 9 | BC→|＝3c o s 〈 AB→， BC→〉， 又 S △ ABC ＝12| AB→| . ∴ x ＋ y 有最大值 2 ，當(dāng) α ＝ 60176。 c o s B＋AC→ | AC→| b|2＝ a2177。 ( a ＋ b ) ＝12， ∴ | a |2－ | b |2＝12， 又 ∵ | a |＝ 1 ， ∴ | b |＝ | a |2－12＝22. 設(shè) a 與 b 的夾角為 θ ，則 c o s θ ＝a AB→ 的值等于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 答案： － 25 解析： 由已知得 △ A B C 為 直角三角形， 且 B ＝ 90176。( b － a ) ＝ a |b| ， ∴ b ＝ λ a ( λ 0 ) ， ∴ | b |＝ | λ || a |，又 | a |＝ 5 ， | b |＝ 3 5 ， ∴ λ ＝－ 3 ， ∴ b ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ＝ ( － 3 , 6 ) ． 解法三： 注意到 A 、 B 、 C 、 D 四個選項均滿足條件 | b |＝ 3 5 ，所以關(guān)鍵是利用好夾角這個已知條件，易知 ( － 3 , 6 ) ＝－ 3 ( 1 ，－ 2) ，所以選 A. [思維拓展 ] (1)本題主要涉及平面向量的模、夾角、共線的充要條件等基礎(chǔ)知識，以及運算能力、分析能力和數(shù)形結(jié)合能力．注意 “ 若 a＝ (x1， y1)， b＝ (x2， y2)，a∥ b的充要條件是 x1y2－ x2y1＝ 0.” 的使用； (2)解法一用的是待定系數(shù)法，體現(xiàn)了方程的思想，關(guān)鍵是將題目中的等量關(guān)系轉(zhuǎn)化成含有未知數(shù)的兩個方程； (3)在解題時，要靈活地運用不同的方法，如利用數(shù)形結(jié)合，則可以直觀地得到結(jié)果． 即時訓(xùn)練： ( 1 ) 設(shè)向量 a ＝ ( 1 , 2 ) ， b ＝ ( 2 , 3 ) ，若向量 λ a ＋ b 與向量 c ＝ ( － 4 ，－ 7)共線，則 λ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . ( 2 ) △ A B C 的三內(nèi)角 A 、 B 、 C 所對邊的長分別為 a 、 b 、 c . 設(shè)向量 p ＝ ( a ＋ c ，b ) ， q ＝ ( b － a ， c － a ) ．若 p ∥ q ，則角 C 的大小為 ( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2 π3 答案： (1)2 (2)B 解析： ( 1 ) λ a ＋ b ＝ ( λ ， 2 λ ) ＋ ( 2 , 3 ) ＝ ( λ ＋ 2 , 2 λ ＋ 3) ， ∴ 存在實數(shù) k ，使 ( λ ＋ 2 , 2 λ ＋ 3) ＝ k ( － 4 ，－ 7) ， ∴????? λ ＋ 2 ＝－ 4 k2 λ ＋ 3 ＝－ 7 k， ∴ λ ＝ 2. ( 2 ) ∵ p ∥ q ， ∴ ( a ＋ c )( c － a ) ＝ b ( b － a ) ， 即 ab ＝ a2＋ b2－ c2， ∴ c o s C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝12， 又 ∵ C ∈ (0 ， π ) ， ∴ C ＝π3，故選 B. 熱點之四 平面向量坐標(biāo)運算的綜合應(yīng)用 1． 對于向量坐標(biāo)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是利用已知條件轉(zhuǎn)化為方程或函數(shù)關(guān)系式解決． 2． 以向量為載體，解決三角、解析幾何問題是高考?？碱}要引起足夠重視． 3．向量與三角結(jié)合題目關(guān)鍵是利用向量共線的坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)中的有關(guān)公式進行求解． [例 4] 已知向量 a＝ (sinθ， cosθ－ 2sinθ)， b＝ (1,2)． (1)若 a∥ b，求 tanθ的值； (2)若 |a|＝ |b|,0θπ，求 θ的值． [思路探究 ] (1)利用共線得方程，再結(jié)合同角關(guān)系式得解； (2)由 |a|＝ |b|得正弦、余弦關(guān)系式，利用三角恒等變換得解． [ 課堂記錄 ] ( 1 ) 因為 a ∥ b ，所以 2 si n θ ＝ c o s θ － 2 si n θ ， 于是 4 si n θ ＝ c o s θ ，故 t a n θ ＝14. ( 2 ) 由 | a |＝ | b |知， si n2θ ＋ ( c o s θ － 2 si n θ )2＝ 12＋ 22， 所以 1 － 2 si n 2 θ ＋ 4 si n2θ ＝ 5. 從而－ 2 si n 2 θ ＋ 2 ( 1 － c o s2 θ ) ＝ 4 ， 即 si n 2 θ ＋ c o s2 θ ＝－ 1 ，于是 si n ( 2 θ ＋π4) ＝－22. 又由 0 θ π 知，π42 θ ＋π49 π4， 所以 2 θ ＋π4＝5 π4或 2 θ ＋π4＝7 π4. 因此 θ ＝π2或 θ ＝3 π4. [思維拓展 ] 本題易忽略 θ的范圍，而導(dǎo)致 θ值的誤解． 即時訓(xùn)練： 已知向量 a ＝ ( si n θ ， 2) ， b ＝ ( c o s θ ， 1) 且 a ∥ b ，其中 θ ∈ (0 ，π2) ． ( 1 ) 求 si n θ 和 c o s θ 的值； ( 2 ) 若 si n ( θ － φ ) ＝1010， 0 φ π2，求 c o s φ 的值． 解： ( 1 ) ∵ a ∥ b ， ∴ si n θ 1 － 2 c o s θ ＝ 0 ， ∴ s in θ ＝ 2 c o s θ . ∵ si n2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ， ∴ 4 c o s2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ， ∴ c o s2θ ＝15. ∵ θ ∈ (0 ，π2) ， ∴ c o s θ ＝55， ∴ si n θ ＝2 55. ( 2 ) 解法一： 由 si n ( θ － φ ) ＝1010， 有 si n θ c o s φ － c o s θ si n φ ＝1010， ∴ si n φ ＝ 2 c o s φ －22， ∴ si n2φ ＋ c o s2φ ＝ 5 c o s2φ － 2 2 c o s φ ＋12＝ 1 ， ∴ 5 c o s2φ － 2 2 c o s φ －12＝ 0. 解得 c o s φ ＝22或 c o s φ ＝－210. ∵ 0 φ π2， ∴ c o s φ ＝22. 解法二： ∵ 0 θ ， φ π2， ∴ －π2 θ － φ π2， ∴ c o s ( θ － φ ) ＝ 1 － si n2? θ － φ ? ＝3 1010. ∴ c o s φ ＝ c o s[ θ － ( θ － φ )] ＝ c o s θ c o s( θ － φ ) ＋ si n θ si n ( θ － φ ) ＝553 1010＋2 551010＝22. 高考動態(tài)研究 感悟高考真題 檢驗實戰(zhàn)技能 直 指 考 向 向量的坐標(biāo)運算及用坐標(biāo)表示平面向量、共線的條件是高考考查的熱點，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題．向量的坐標(biāo)運算常與三角、解析幾何等知識結(jié)合，在知識交匯點處命題，以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題． 經(jīng) 典 考 題 [例 5] (2022湖北卷 ) 已知 △ A BC 和點 M 滿足 MA→＋ MB→＋ MC→＝ 0. 若存在實數(shù) m 使得AB→＋ AC→＝ m AM→成立，則 m 等于 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 [ 解析 ] ( 1 ) ∵ CD 平分 ∠ A C B ， ∴| CA→|| CB→|＝| AD→|| DB→|＝21. ∴ AD→＝ 2 DB→＝23AB→＝23( CB→－ CA→) ＝23( a － b ) ． ∴ CD→＝ CA→＋ AD→＝ b ＋23( a － b ) ＝23a ＋13b . ( 2 ) 設(shè) BC 的中點為 D ，由已知條件可得 M 為 △ A B C 的重 心， AB→＋ AC→＝ 2 AD→，又 AM→＝23AD→，故 m ＝ 3. [答案 ] (1)B (2)B 自 主 體 驗 1 ． ( 2 0 0 9 答案： C 解析： AB→ 與 BC→ 的夾角為 180176。 b ＝????????12，－12b＝ λ(a ( 2 a － 3 b ) ＝ 12 ，則 | b |＝_ _ _ _ _ _ _ _ ； b 在 a 方向上的投影等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 解析： a b| b |＝1 2 ＋ 2 ? － 2 ?22＋ ? － 2 ?2＝－22 2＝－22. [ 思維拓展 ] 向量 a 在 b 方向上的投影為 | a | c o s θ ( θ 為 a 與 b 的夾角 ) ．而 | a | c o s θ ＝a c ＝－ 2 ＋ 6 ＝ 4 ， 即 4 a b ＋ 4 b2 ＝ 16 16 － 16 ( －