【正文】 例 12 設(shè) X服從區(qū)間 11,22???????上的均勻分布 , 因此 , 求 Cov(X , Y), ? 解 : X的密度函數(shù)為 111() 220xfx ? ? ? ?????? 其他 EX=0 Cov(X , Y)=E(XY)? EX EY =E(XY)= E(XcosX) 1212c o sx x d x?? ? 0??=0 ( ?=0說明 X,Y不相關(guān) ,但它們有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系 且 Y= cosX Y= cosX ) 性質(zhì) 5 對(duì)于二維正態(tài)分布 ,不相關(guān)和獨(dú)立是等價(jià)的 (前面曾經(jīng)證明 ,對(duì)于二維正態(tài)分布 ,不相關(guān)和 獨(dú)立的充要條件是 ?=0 ) 小結(jié) : (1)相關(guān)系數(shù)只能刻畫 X,Y之間線性關(guān)系 的程度 , 而不能刻畫 X,Y之間一般的函數(shù)相依關(guān) 系的程度 . (2)在應(yīng)用上 ,最重要的分布是二維正態(tài)分布 , 此時(shí)不相關(guān)和獨(dú)立是等價(jià)的 . 解： 設(shè) X， Y是隨機(jī)變量，且 Y=5X+6, DX=3 求 Cov(X,Y), ? 例 13 Cov(X, Y+b)= Cov(X, Y) = 5Cov(X, X) = 5DX = 15 DY=D(5X+6)=25DX=75 ( , )xyC o v X YD X D Y? ? 157 5 3? 1?此題用到 : Cov(X, Y)= Cov(X, 5X+6) Cov(X, b)= 0 例 14 設(shè) X， Y獨(dú)立，且 DX=DY=?2 aX+bY與 cX+dY的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 求 解： Cov(aX+bY, cX+dY) =Cov(aX+bY,cX) =Cov(aX,cX) +Cov(aX+bY,dY) +bcCov(Y, X) +Cov(aX,dY) +Cov(bY,dY) =acCov(X, X) +Cov(bY,cX) +adCov(X, Y) +bdCov(Y, Y) ? ? 0 0 =acDX +bdDY =(ac+bd)?2 ( , )( ) ( )C o v a X b Y c X d YD a X b Y D c X d Y? ?????? ? 22 2 2 2a b c da D X b D Y c D X d D Y?????? ? 22 2 2 2 2 2 2 2a b c da b c d?? ? ? ?????? ?2 2 2 2a b c da b c d????例 15 設(shè)隨機(jī)變量 ?在 [0, 2?]上服從均勻分布 , 且 X=cos ?, Y=cos(?+a) a是常數(shù) 求 ?XY 解： 1 02() 20xfx??? ??????? 其 它 設(shè)隨機(jī)變量 ?的密度為 EX= E(cos?) EY= ? ?co s x f x d x??????? 201 c o s2 x d x??? ? =0 ? ?201 c o s2 x a d x?? ?? =0 E(X2)= 22011c o s22x d x?? ??E(Y2)= ? ?2 2011c o s22 x a d x?? ???DX= DY= E(XY)= 1212? ?2022c o s c o s c o s22 x x a d x a?? ???因此 ， Cov(X, Y)=E(XY)?EXEY= 1 cos2 a?=cosa X= ?Y X=Y 當(dāng) a=0時(shí) ， ? = 1， 當(dāng) a=?時(shí) ， ?= ?1， 當(dāng) a= 或 2? 時(shí) ， 32? ? = 0， （ 此時(shí)存在線性關(guān)系 ） 此時(shí) X, Y不相關(guān) 但此時(shí) X2 ＋ Y2＝ 1， 因此 ， X, Y不獨(dú)立 4 , 1 , 0 . 6D X D Y ?? ? ?( ) , ( 3 2 )D X Y D X Y??. ( ) 2 ( , )D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?( 3 2 ) ( 3 ) ( 2 ) 2 ( 3 , 2 )D X Y D X D Y C o v X Y? ? ? ?例 16 已知 求 解 : 2D X D Y D X D Y?? ? ? ?4 1 2 0 . 6 2 17 . 4? ? ? ? ? ??9 4 1 2D X D Y D X D Y?? ? ? ?3 6 4 1 2 0 . 6 2 1 4 0 1 4 . 4? ? ? ? ? ? ? ??。 , 。 (g是連續(xù)函數(shù) ) 二 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 設(shè) (X, Y)為二維隨機(jī)變量 ， Z=g(X, Y ) 當(dāng) (X, Y)是離散型時(shí)，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合概率函數(shù)為 { , } ( , 1 , 2 , )i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?? ? [ ( , ) ] ( , ) ( , )E Z E g X Y g x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ??? ??則 當(dāng) (X, Y)是連續(xù)型時(shí)，設(shè) (X, Y)的 聯(lián)合密度為 f(x,y) 則 ? ? [ ( , ) ] ( , )i j i jijE Z E g X Y g x y p?? ??（ 上面的結(jié)論可以推廣到 n元函數(shù)的情形 ） 此定理說明 ， 不需要計(jì)算 Z的分布 ， 就可以求其期望 . 例 1 已知 (X, Y)的聯(lián)合分布律為 求：（ 1） E(2X+3Y) (2 ) E(XY) Y X 0 1 0 1 131201616561323 （ 3） (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 ( 2 3 ) ( 2 3 )i j i jijE X Y x y p? ? ???解 ： (1) 由數(shù)學(xué)期望定義 1( 2 0 3 0 ) ( 2 0 3 1 ) 03? ? ? ? ? ? ? ? ? ?116?11( 2 1 3 0 ) ( 2 1 3 1 )26? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ) ( )i j i jijE X Y x y p? ??（ 2） 120133? ? ? ?（ 3） 23?()EX510166? ? ? ?16?()EY21( , )36所以 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 1 1 1( 0 0 ) ( 0 1 ) 0 ( 1 0 ) ( 1 1 )3 2 6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?16? 設(shè) (X ,Y) 的密度為： 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y??? ?? 其 它1 0 , 0 , 0x y x y? ? ? ? ?x y 0 1 1 D 1yx??( , )E X E Y其中 D是由直線 ： 圍成的三角形區(qū)域 求 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望 例 2 11 200 24xdx x y dy?? ??1 2 3 4012 ( 2 )x x x dx? ? ??( , )x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??1120024xx dx y dy?? ??1 22024 ( 1 )2 x x d x???2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它25?解 ： ()EXx y 0 1 1 D 1yx?? 2 4 , ( , )( , )0,x y x y Df x y ????? 其 它( ) ( , )E Y y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??11 20024xxd x y d y?? ?? 25?x y 0 1 1 D 1yx??所以 (X,Y)的數(shù)學(xué)期望為 22( , )55例 3 ? ? 0 , 0( , )0xye x yf x y??? ???? ??? 其 它設(shè) (X ,Y) 的密度為： 求 E(X) , E(Y), E(XY) 解 : E(X) ( , )x f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?? ??00xyx e d x e d y?? ????? ??1?同理 E(Y)＝ 1 ( , )x y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ??E(XY) 00xyx e d x y e d y?? ????? ??? ? ? ?22? ? ??1?例 4 ? ?224 0 , 0( , )0xyx y e x yf x y???? ??? ??? 其 它設(shè) (X ,Y) 的密度為： 求 22Z X Y?? 的均值 E(Z) 解 : E(Z) 22 ( , )x y f x y dx dy? ? ? ?? ? ? ?????? ?222200 4xyx y x y e d x d y? ? ? ? ??? ? ???cossi nxryr????22200 4 c o s s i nrd r r e r d r?? ? ??? ????242004 c o s s inrd r e d r?? ? ? ?? ?? ?? 2402 rr e d r?? ?? ?2rt? 320tt e d t?? ?? 52???? ????3 1 12 2 2??? ? ?? ????34 ?? 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 .對(duì)于多維隨機(jī)變量，在反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的是協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) . 三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 設(shè) (X,Y) 是二維隨機(jī)變量 ,若 協(xié)方差 Cov(X, Y)=E[(X?EX)(Y?EY)] 定義 ： [ ( ) ( ) ]E X E X Y E Y??即 : 存在 ， 則稱它為 X與 Y的 協(xié)方差 ， 記為 Cov(X, Y) 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè) 常用公式 由協(xié)方差的定義及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得 Cov(X,Y)=E[(X?EX) (Y?EY)] =E(XY)? EXEY ? EYEX + EXEY = E(XY)? EXEY 即 : Cov(X,Y)= E(XY)?EXEY =E[XY ?YEX?XEY +EXEY ] 定義 ： [ ( ) ( ) ] ( , 1 , 2 , , )i j i i j jb E X E X X E X i j n? ? ? 11 12 121 22 212......... ... ... ......nnn n nnb b bb b bBb b b????????????? 設(shè) (X1, X2,... ,Xn)為 n維隨機(jī)變量 , 為 n維隨機(jī)變量 (X1, X2,... Xn)的 協(xié)方差矩陣 . ( , )ijC o v X X稱 為隨機(jī)變量 Xi和 Xj的 協(xié)方差 , 也記為 稱方陣 ( , ) ( 1 , 2 , , )ii i i ib C ov X X D X i n? ? ?所以 ,協(xié)方差矩陣的主對(duì)角線元素為 Xi(i=1, 2, ... ,n)的方差 因?yàn)? 因而協(xié)方差矩陣 B是一個(gè) 對(duì)稱矩陣 . , , 1 , 2 , , ,i j j ib b i j n??由于 Cov(Xi+Xj, Xk)= Cov(Xi, Xk)+ Cov(Xj, Xk) 協(xié)方差的性質(zhì) Cov(aXi, bXj) = ab Cov(Xi, Xj) a, b是常數(shù) （ 1） ( , ) ( ) , ( 1 , 2 , , )ii i i ib Co v X X D X i n? ? ?bij=Cov(Xi, Xj)= E(XiXj)?EXiEXj （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） bik2? bii?bkk （ 6） 對(duì)任意實(shí)數(shù) ti (i=1, 2,..., n)， 有 110nni j i jijb t t?????(即 B=(bij)是半正定矩陣 ) 證 ： 性質(zhì) （ 1） － （ 4） 自己證明 。 矩 數(shù)學(xué)期望和方差可以納入到一個(gè)更一般的概念范疇之中 , 那就是隨機(jī)變量的 矩 . 設(shè) X為一個(gè)隨機(jī)變量 ,