[理學(xué)]概率第四章課件(參考版)
2025-01-22 14:49本頁(yè)面
【正文】 三、 矩、協(xié)方差矩陣 .kv定義 2 設(shè) X是隨機(jī)變量， k為正整數(shù)，若 .k?協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 定義 3 設(shè) ( , )XYco v ( , ) co v ( , ) co v ( , )co v ( , ) co v ( , ) co v ( , )D X X Y X X X YX Y D Y X Y Y Y? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?1 1 11c ov ( , ) c ov ( , )c ov ( , ) c ov ( , )nn n nX X X XX X X X??????是二維隨機(jī)變量，稱矩陣 ( , )XY為 的協(xié)方差矩陣 . 12( , , , )nX X Xn維隨機(jī)變量 的協(xié)方差矩陣為 . 同樣地，可定義 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 2,U X Y?? 2,V X Y??,D X D Y ???( , ) ( 2 , 2 )C ov U V C ov X Y X Y? ? ?4 ( , ) ( , )C ov X X C ov Y Y??4 4 3D X D Y ? ? ?? ? ? ? ?4 4 5D U D V D X D Y ? ? ?? ? ? ? ? ?5335C???????????例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X Y與 . 解 由于 ， ， ( , )UV. 因此， 的協(xié)方差矩陣為 ， . ?相互獨(dú)立且都服從參數(shù) 的 泊松分布， ( , )UV.C求 的協(xié)方差矩 陣 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) 習(xí)題 43 這一節(jié)介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是 刻劃兩個(gè)變量間 線性相關(guān)程度 的一個(gè)重要的數(shù)字特征 . 還學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的原點(diǎn)矩和中心矩以及協(xié)方差矩陣 . 一般地 , 維隨機(jī)變量的分布是不知道的 , 或者太復(fù)雜 , 以至于在數(shù)學(xué)上不易處理 , 因此在實(shí)際中協(xié)方差矩陣就顯得重要了 . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) 。 (4) Cov(X+ Y, Z)= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z) 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) Cov(X,Y)=E(XY) E(X)E(Y) 可見(jiàn)，若 X 與 Y 獨(dú)立 ， Cov(X,Y)= 0 . 3. 計(jì)算協(xié)方差的簡(jiǎn)單公式 由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得 Cov(X,Y)=E[ (XEX)(YEY) ] =E[XYYEXXEY+EXEY =E(XY)EXEY 即 . 協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) D(X+Y)= DX+DY+ 2Cov(X,Y) 4. 隨機(jī)變量 和的方差與協(xié)方差的關(guān)系 特別地 22( , ) ( )C o v X X E X E X D X? ? ?協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩及其性質(zhì) ( , ) [ ( ) ( ) ]C ov X Y E X E X Y E Y? ? ?( )( ) ( , )XYx E X y E Y f x y d x d y? ? ? ?? ? ? ?? ? ???1[ ( )( ) ]2 2 ( )( )dbcaa b c dx y d x d yb a d c??? ? ? ?????( , ) ~ ( , 。. 內(nèi)容小結(jié) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè) 習(xí)題 42 介紹了隨機(jī)變量的方差 . 取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特征 。2??11 niiEXn ?????DX。 Y)= DX+DY 隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 1 2 1 2() nnD X X X DX DX DX? ? ? ? ? ? ?， 推廣：若 相互獨(dú)立 12, , , nX X XiEX ?? ， 2iDX ??2211 ()1niiS X Xn???? ?1111( ) ( )nniiiiE X E X E Xnn???? ??2221 1 11 1 1( ) ( )n n ni i ii i iD X D X D X D Xn n n n?? ? ?? ? ? ?? ? ?2 2 2 21111[ ( ) ] [ ( )]11nniiiiE S E X X E X n Xnn??? ? ? ?????12, , , nX X X例 5 設(shè) 相互獨(dú)立， 11 niiXXn?? ? ， 令 EX、 DX 2ES 。 2. 若 C 是常數(shù) , 則 D(CX)=C2 DX 。方差為上節(jié)已求得 2)( baXE ??22()D X E X E X??因此 ,均勻分布 ? ? 2,2 1 2baabE X D X ????隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) ? ? 222 1 d2 1 2babaabxxba????? ? ???? ???例 4 設(shè)隨機(jī)變量 X服從指數(shù)分布 ,其概率密度為 0()00xexfxx?? ?? ?? ???0 E X D X? ?其 中 ， 求 ， 。 泊 松 分 布 的 分 布 律 中 只 含 一 個(gè) 參 數(shù) 只 要 知 道泊 松 分 布 就 被 確 定 了22()D X E X E X ?? ? ?因此 ,泊松分布 ,E X D X????隨機(jī)變量的方差及其性質(zhì) 例 3 ~ [ , ]X U a b D X設(shè) 隨 機(jī) 變 量 分 布 ， 求 。 1qp?? 例 2 ~ ( )X P D
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