[理學(xué)]第四章矩陣分解(參考版)
2025-01-22 15:15本頁面
【正文】 （ 3）當(dāng) 可對(duì)角化時(shí)，求其譜分解表達(dá)式。 解 : 首先求出矩陣 的特征值與特征向量。 4 3 4 6 24 4 3 2 66 2 2 6 1i i iA i i iii? ? ?????? ? ? ? ?? ? ????? 設(shè) 是一個(gè) 階可對(duì)角化的矩陣，特征值為 ，與其相應(yīng)的特征向量分別為 ，如果記 那么 A n12, , , n? ? ?12, , , n? ? ?? ?12, , , nP ? ? ??? ?12 1112 212, , ,nTTnTnnA P P?????? ?? ? ????????????????????????????????????????????11 2TTTnP???????????????????1 1 1 2 2 2T T Tn n n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?由于 ，所以有 1P P I? ?1 1 2 2T T Tnn I? ? ? ? ? ?? ? ? ?又由于 ，從而 1P P I? ?, ( , 1 , 2 , , )Ti j i j i j n? ? ???121121()()T T TnTTnA P PPP??????????????????????????????????現(xiàn)在觀察矩陣 與列向量 之間的關(guān)系： Ai?這說明矩陣 的列向量是矩陣 的特征向量。容易計(jì)算 011 0 000iAi????????????A2( 2 )IA? ? ?? ? ?從而 的特征值為 可以求出分別屬于這三個(gè)特征值的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量 A1 2 32 , 2 , 0ii? ? ?? ? ? ?? ?1122332 , , 12 , , 10 , , 1TTTiii????????? ? ? ?????? ? ?????再將其單位化可得三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量 于是有 12311,22211,22210 , ,22TTTiii????? ????????? ?????????????1 1 12212 4 42 14 4 42 14 4 4HGiiii????? ???????? ???????????2 2 22212 4 42 14 4 42 14 4 4HGiiii?????????? ?? ??????????3 3 30 0 010221022HGii???????????????????這樣可得其譜分解表達(dá)式為 1 2 32 2 0A iG iG G? ? ? ?練習(xí) ： 求正規(guī)矩陣 的譜分解表達(dá)式。容易計(jì)算 A3( 1 ) ( 3 )IA? ? ?? ? ? ?從而 的特征值為 當(dāng) 時(shí)，求得三個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 A1 2 3 41 , 3? ? ? ?? ? ? ? ?1? ?? ?? ?? ?1231 , 1 , 0 , 01 , 0 , 1 , 01 , 0 , 0 , 1TTT???????當(dāng) 時(shí)，求得一個(gè)線性無關(guān)的特征向量為 將 正交化與單位化可得 3? ??? ?4 1 , 1 , 1 , 1 T? ? ? ?1 2 3,? ? ?12311, , 0 , 0221 1 2, , , 06663111,12 12 12 12TTT?????????????????????????將 單位化可得： 于是有 4? 41 1 1 1,2 2 2 2 T? ????? ??1 1 1 2 2 3 33 1 1 14 4 4 431 1 14 4 4 431 1 14 4 4 431 1 14 4 4 4H H HG ? ? ? ? ? ?? ? ???????? ????????????????2 4 41 1 1 14 4 4 41 1 1 14 4 4 41 1 1 14 4 4 41 1 1 14 4 4 4HG ??????????????????????????????這樣可得其譜分解表達(dá)式為 123A G G??例 2 ： 求正規(guī)矩陣 的譜分解表達(dá)式。 例 1 ： 求正規(guī)矩陣 iGiG0 1 1 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0A?????????????????的譜分解表達(dá)式。 ( 4 )( 5 ) ( )rHi i i i iiri k iiiiA G G G GG G i k G Ira nk G n???? ? ?? ? ????（ 6）滿足上述性質(zhì) (2),(3)的矩陣 是唯一的。 定理 ： 設(shè) 為一個(gè) 階矩陣，其有 個(gè)互異的特征值 ， 的代數(shù)重?cái)?shù)為 ， 那么 為正規(guī)矩陣的充分必要條件是存在 個(gè) 階矩陣 且滿足 A n r12, , , r? ? ? i?in Anr 12, , , rG G G211( 1 ) 。我們稱上式為正規(guī)矩陣 的 譜分解表達(dá)式 。 定理 ：設(shè) ，則 是正規(guī)矩陣的充分必要條件是 12A H U UH??12,HHUnnAC ?? AA H U U H??其中 是半正定的 H矩陣， 是酉矩陣，且 矩陣的譜分解 我們主要討論兩種矩陣的譜分解：正規(guī)矩陣與可對(duì)角化矩陣。 1212 0rr r n? ? ?? ? ???? ? ?? ? ? ? ?12 r? ? ?? ? ?A r于是有 121 1 1 2( ) ( )HnA U U U U????????????????121 2 2 2( ) ( )H
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