[自然科學(xué)]第六周第二次課_初等矩陣(參考版)
2025-02-23 05:20本頁(yè)面
【正文】 方陣的行列式 2. 第二數(shù)學(xué)歸納法原理 : 設(shè) P為一個(gè)關(guān)于自然數(shù) n的命題 , 若 ① P對(duì)于 n = n0成立 , ② 由“ n0 ? n ? k時(shí) P成立”可推出 “ n = k+1時(shí) P成立” , 則 P對(duì)于任意的自然數(shù) n?n0成立 . ? 。 逆矩陣 考察 bi ai1 ai2 … ain b1 a11 a12 … a1n b2 a21 a22 … a2n … … … … … bn an1 an2 … ann , 按第一行展開(kāi)得 bi D ? ai1D1 ? ai2D2 ? … ? ainDn = 0 (i = 1, 2, …, n). 當(dāng) D ? 0時(shí) , 移項(xiàng)整理可得 ai1 + ai2 + … + ain = bi (i = 1, 2, …, n). D1 D2 Dn D D D 這就是說(shuō) x1 = D1 D , x2 = D2 D , …, xn = Dn D 是 (?)的解 . 關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 (充分性 )若存在非零 s維列向量 ?和非零 n維列 向量 ?, 使得 A = ??T, 則 r(A) ? r(?) = 1. 設(shè) ? = , a1 a2 … as ? = (b1 b2 … bn), 其中某個(gè) ai和 bj非零 , 則 aibj為 A中的非零元素 , 故 r(A) ? 1. 因而 r(A) = 1. ? Cramer法則的巧妙證法 記 D = a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann 第二章 矩陣運(yùn)算和行列式 ? 167。 矩陣的秩 例 22. 設(shè) A為 s?n矩陣 , 證明 r(A) = 1的充要條件 是存在非零 s 維列向量 ? 和非零 n 維列 向量 ?, 使得 A = ??T. 證明 : (必要性 ) 若 r(A) = 1, 則存在可逆矩陣 P 和 Q使得 A = P Q. 1 0 … 0 0 0 … 0 … … … 0 0 … 0 ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設(shè) A為 s?n矩陣 , B為 n?t矩陣 , 則 r(AB) ? min{r(A), r(B)}. 證明 : 設(shè) A = P Q, Er O O O 其中 P, Q為可逆矩陣 . 則 r(A) = r. 下面對(duì) QB進(jìn)行分塊 : 其中 Q1為 r?t矩陣 . Q1 Q2 QB = , r(AB) = r(P QB) Er O O O 于是 ? 第一章 矩陣 167。 矩陣的秩 命題 . 設(shè) A為 s?m矩陣 , B為 s?n矩陣 , 則 max{r(A), r(B)} ? r(A, B) ? r(A)+r(B). 證明 : ② 設(shè) P1AT = U1, P2BT = U2, 其中 U1, U2為行最簡(jiǎn)形矩陣 . 于是 = r(A)+r(B). r(A, B) = r(A, B)T = r AT BT = r AT BT P1 O O P2 = r U1 U2 ? U1 U2 的非零行數(shù) ? 第一章 矩陣 167。 Em+n= Em O O En r1 ? r2 O En Em O Em+n P r1 P O O En Em+n r2 + P r1 Em O P En 分塊初等矩陣與分塊矩陣運(yùn)算的關(guān)系 : O En Em O A B C D = C D A B
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