[工學(xué)]復(fù)變函數(shù)與積分變換第四章(參考版)
2025-02-19 04:38本頁面
【正文】 Q=[1,3,2]。 [n,d]=numden(f)。z? ? ? ?內(nèi)展開成 Laurent級數(shù) . 例 將函數(shù) 1 ( ) ( 1 ) ( 2 )fz zz? ??在圓環(huán)域 ( 4 ) 0 1 1z? ? ?處都解析 , 并且可分解為 11( ) .12fz zz???? 典型例題 函數(shù) f (z)在 z=1和 z=2處不解析 , 在其它點(diǎn) 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . clear symsz。z??( 2 ) 1 2 。 Laurent級數(shù) Laurent 級數(shù)的概念 如果函數(shù) f (z)在 z0點(diǎn)解析 , 則在 z0的某鄰域內(nèi) , 可 展開為 Taylor級數(shù) , 其各項由 zz0的非負(fù)冪組成 . 如果 f (z)在圓環(huán)域 1 0 2R z z R? ? ?內(nèi)解析 , 則 f (z)在這 個圓環(huán)域內(nèi)不一定都能展開為 zz0的冪級數(shù) . 本節(jié)將引進(jìn)一種在 圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù) , 即 Laurent級數(shù) . 它將在后面討論孤立奇點(diǎn)與留數(shù) 及 Z變換理論中起重要作用 . 0( ) .nnnc z z?? ? ???負(fù)冪項部分 正冪項部分 主要部分 解析部分 nnnn zzc )( 0???????nnn zzc???? ?? )( 01這種雙邊冪級數(shù)的形式為 同時收斂 ?Laurent級數(shù) ?nnn zzc )( 00????收斂 nnn zzc )( 00????nnn zzc???? ?? )( 0110 )( ??? zz?令 nnnc ?????1收斂半徑 R 收斂時 ,R??101 RRzz ???收斂域 收斂半徑 R2 20 Rzz ??收斂域 :)1( 21 RR ?若 兩收斂域無公共部分 。 f=z/(z+1)。 f=(1+z)^a。 taylor(f)ans=z1/2*z^2+1/3*z^31/4*z^4+1/5*z^5所以 ? ?ln (1 )z ??根據(jù) ，把上式逐項積分，得 定理 4 .8 設(shè)冪級數(shù) 收斂半徑 00 ()nnn c z z?? ??半徑為 R , 并且在 內(nèi) , 0z z R??00( ) ( ) ,nnnf z c z z?????則 是 內(nèi)的解析函數(shù) , 且在收斂圓()fz 0z z R??0z z R??內(nèi) , 可以逐項求導(dǎo)和逐項積分 , 即(1 ) 當(dāng) 時 , 0z z R?? ? ? 101( ) 。 taylor(f,z)ans=12*z^2+3*z^4例 求對數(shù)函數(shù)的主值 ln( 1 )z? 在 z=0點(diǎn) 的 Taylor級數(shù) . 負(fù)實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析 . 1?Ro1? 1 xy因?yàn)? ? ? 1ln ( 1 ) ,1z z??? ? 并且由 有 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ? ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ?? 函數(shù) ln( 1 )z? 在復(fù)平面中割去從點(diǎn) 1沿 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symsz。 taylor(f,z,8) % 這里 8是展開的項數(shù)ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^5+1/720*z^6+1/5040*z^7 taylor(f,z) % 展開的默認(rèn)值是 6項ans=1+z+1/2*z^2+1/6*z^3+1/24*z^4+1/120*z^52. 間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析 函數(shù)的性質(zhì) , 冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項求導(dǎo) , 逐項 積分等 )和其它的數(shù)學(xué)技巧 (代換等 ) , 求函數(shù)的 Taylor展開式 . 間接法的優(yōu)點(diǎn) : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直 接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 . 例 利用 001 1 1c o s ( ) ( ) ,2 2 ! !i z i znnnneez iz iznn? ???????? ? ? ???????2 2 4 20( 1 )c o s 1 ( 1 ) ,( 2 ) ! 2 ! 4 ! ( 2 ) !n n nnnz z z zznn???? ? ? ? ? ? ? ??并且收斂半徑 .R ? ??同理 210( 1 )sin( 2 1 ) !nnnzzn???????? ?3 5 2 1( 1 ) .3 ! 5 ! ( 2 1 ) !nnz z zzz n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??本例利用直接方法也很簡單 以及 ? ?20 1 .! 2 ! !nnz n z z ze z z??? ? ? ? ? ? ? ? ??例 可解得 性質(zhì) 4 .1 (1 ) 設(shè)級數(shù) 和 的收斂0 nnn az??? 0 nnn bz???半徑分別為 和1R 2,R 則在 內(nèi) , 0 0 0( ) ,n n nn n n nn n na b z a z b z? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?0 1 1 00 0 0 .n n nn n n n nn n na z b z a b a b a b z? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?(2 ) 設(shè)級數(shù) 的收斂半徑為 r.0() nnnf z c z??? ?如果在 內(nèi) , 函數(shù) 解析 , 并且Rz? )(zg ,)( rzg ?則當(dāng) 時 ,Rz? 0[ ( ) ] [ ( ) ] .nnnf g z c g z??? ?和 ? ?21 1 ( 1 ) 1 ,1 nnz z z zz ? ? ? ? ? ? ? ??例 求 21() ( 1 )fz z? ?在 0z? 點(diǎn)鄰域內(nèi) 的 Taylor級數(shù) . 解 1 1z ??是 ()fz的惟一奇點(diǎn) , 且 1 0 1 ,z ??故收斂半徑 ? 在 中，用 z替換 z, 則 例 ? ?01 1 .1 nn zzz ????? ?逐項求導(dǎo)，得 ? ?221 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .( 1 ) nnz z n z zz ? ? ? ? ? ? ? ? ??例 將 ? ? 221()1fzz??展開為 z的冪級數(shù) . ? ?201 ( 1 ) ( 1 ) 1 ,( 1 )nnnn ?????? ? ? ?? ?令 則 2 ,z? ?22201 ( 1 ) ( 1 )( 1 )nnnnzz??? ? ?? ?? ?2 4 21 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 1 .nnz z n z z? ? ? ? ? ? ? ? ?根據(jù)例 ， 解 運(yùn)行下面的 MATLAB語句 . symsz。 2. 間接方法 . 1. 直接方法 ? ?() 01 ( ) 0 , 1 , 2 , ,! nnc f z nn??由 Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù) 然后將函數(shù) f (z)在 z0 展開成冪級數(shù) . 例 求 () zf z e? 在 0z? 的 Taylor展開式 . ( ) ( ) 00( 0 ) ( ) 1 ,n z n zzzf e e??? ? ?所以它在 0z? 處的 Taylor級數(shù)為 ()00( 0 )!!nnznnnfzeznn???
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