【正文】 2 3 2 23 。 1 0 01 。 D D D D。 。 解：將區(qū)間分為 5 個部分? ?? ?2 2 2 212 2 2 222 2 2 232 2 2 242 2 2 25: 4 2: 4 2 1: 4 1 2: 4 1 2: 4 2的 左 部的 右 部D x y y xD x y y x xD x y x y xD x y x y xD x y y x? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?? ?221 5 2 3 42 2 222241 4 1 2 2 40 2 0 0 1 01 2 12 2 20 1 0s gn 24 4 48 2 4 4 44 1 38 l n3 2 xyD D D D Dx x xxI x y dx dydx dy dx dy dx dy dx dy dx dydx dy dx dy dx dyx dx x dx x dx???? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ???????? ?? ?? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? 【例 35】計算積分 ? ?02xyI x y dxdy???????? 。用12D表示積分區(qū)域的下半部分，則： 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ? ? ?? ? ? ?12420442002 c o s 2 c o s2 c o s 2 1 s in 2 12yyDyyI x y d d y x y d xx y d y y d y?????????? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ??? 【例 33】計算 ? ?22 1 : , 1DI x y d x d y D M a x x y? ? ? ???。 2 x y D y xx y x y D x y xx y D x y x? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 2 31 2 2 1 2 322202222 2 2 22 2 2 2222111x D D DxD D D D D D DD D DDDI x y dxdy x y dxdy x y dxdy x y dxdyx y dxdy x y dxdy dxdy dxdy dxdyx y dxdy x y dxdy dxdyx dxdy x y dxdyxd??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??????? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ???? ?? ???? ??? ?22 1 0 8 0 8DDx dy x y dxdy? ? ? ? ? ? ??????? ?? 【例 32】 ? ?co sDI x y d?????， :D 由 , 0, 2y x y x ?? ? ?所圍。 22 2 。 解：使用 0x y y x? ? ? ? ?和 22x y x y? ? ? ? ?或 2xy? ?? 共 3條隱含邊界把積分區(qū)間從上到下劃分為 1 2 3。, 1 xyyuu x y v uux u v vxyvvxy?? ? ? ? ? ???? ???????； 0 0 1331144y x vx y u??? ? ? ??????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?2113 20403 14l n 1 l n 1 2031 l n 248011 1yxxyyxyvuxI d x d y d u d vx y u v??? ? ????? ?????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ■題型五 關(guān)于隱含邊界題法 【例 25】計算 11220 1y yI dy dxxy? ???? 解： 用隱含邊界圓弧 1r? 將區(qū)間分為 1D 和 2D 兩部分，使用原點極坐標(biāo)，得 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?2212441220 0 1 a r c c os221 2 22 2 20 1 1221 2 22 2 20 0 121 2 22 2 20 0 1si n si n1122 12 1 2 1 12 1 2 1 111 2 1 1 1 11 2 1 2 1 rrrI dr d dr drrr r rdr dr drr r rr r rdr dr drr r rdrdr drr r r????????????? ? ? ???? ? ???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?2 1 3a r c t a n 2 l n2 4 2 2?? ? ? 【例 26】 20I y x dxdy???? 102xD y???? ???? 解：題中 2yx? 為隱含邊界 1222DDI y x d x d y x y d x d y? ? ? ??? ?? 221 2 1221 1 0 532xxdx y x dy dx x y dy ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? 【例 27】 sin ( )DI x y dxdy???? : 0 , 0D x y??? ? ? ? 解：12sin ( ) sin ( )DDI x y d x d y x y d x d y? ? ? ??? ?? 評 注 如果本題改為 : 0 , 0 2D x y??? ? ? ?，則 ? ? ? ?220 0 0 0 20 0 0s in ( ) s in ( ) s in ( ) s in ( ) 1 c o s 2 1 c o s 4xxxxDI x y d x d y d x x y d y d x x y d y d x x y d yx d x x d x x d x? ? ? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ( , )?? xy??? 00 s in ( )xdx x y dy???????0 s in ( )2 xdx x y dy???? ?????? 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 【例 28】 22s g n ( ) xyDI x y e dxdy????? :1D x y x? ? ? 【例 29】 34DI x y dxdy???? 22:1D x y?? 解： 2 1 2 1 20 0 0 03 c o s 4 s i n 5 s i n ( )I d r r r d r d r d r??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 3arctan4?? 220 0 05 5 1 0 2 0sin ( ) sin sin3 3 3 3d d d? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? （利用00( ) ( ) ( ) )T a T Taf x a d x f x d x f x d x?? ? ?? ? ?） 同步練習(xí)： 222D xy x y dxdy? ???? 22:1D x y?? 答案： 916? 。 解：作變換，令 2 , y u xy vx ??，由此把原有的曲線區(qū)域變成矩形區(qū)域 ? ?? ? ? ?? ?222, 1 1 1 1, 3,3 2,xyJuu yu v uyyxxy xxyx?? ? ? ? ????? ? ?11 1 1 ln3 3 3DDbq qS dx dy du dv dv du b aapu u p? ? ? ? ??? ?? ? ? 【例 23 】 計算由曲線2 2 2 2 2 2 2 22 , , 2 , 2y a a x y b b x y m m x y n n x? ? ? ? ? ? ? ?所圍成的面積。 解： 88c o s44 s in1 x ary arxyab ????? ? ????? 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 ? ?c o s7 7 7 7201 37208 c o s sin 4 c o s sin41 70 uSSS d x d y a b r d rd a b daba b u u d u??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ??? ?? ?? ■題型四 關(guān)于換元題法 【例 21】計算 c o sDxyI dxdyxy???? ??????? 10, 0xyD ???? ??? 所圍區(qū)域。 0 。2?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? 22, 2 c o s 4 c o s s i n 1 2 s i n c o s, 3 s i n 6 s i n c o sxyJ ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ?? ? ?? 12 2 2s in c os 2 2 22006 sin c o s 1 2 sin c o s 1 2 6 sin c o s6 15DI d ddd? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???????? 【例 18】 求橢球體的體積 2 2 22 2 2 1x y za b c? ? ? （廣義極坐標(biāo)） 解：作廣義極 坐標(biāo)變換 cossinx ary br ????? ??21z c r? ? ? J abr? 再采用穿線法，有 1120 0 048 3crV d d r a b r d z a b c? ?????? ? ? 【例 19】求曲線 5 224x y x ya b c????????包圍的面積 S 。 解：方法一：平移法1 c o s12 : 0 2 , 01 2sin2xrDryy????? ???? ? ? ? ? ??? ???? ? ?2 2 21 28DDI x y x y d x d y r r d r d ????? ? ? ? ? ? ??????? ?? 方法二：原位法 c o s 3: , 0 c o s s ins in 44xr Dryy ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?2 2 2c o s sin8DDI x y x y d x d y r r r rd rd ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? 讀者可以嘗試計算上述 積分，其中的計算過程要必平移法復(fù)雜得多 ！ 【例 16】 求球面 ? ?2 2 2 2 0x y z a a? ? ? ? 被平面 4az? 和 2az? 所夾 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 考試點考研網(wǎng) _微支付高清 部分的表面積 解： 22 2 2 2 22 3222x y z a x y aazaz? ???? ? ? ? ?? ?????????????? 22 2 2 2 22 15444x y z a x y aazaz? ???? ? ? ? ?? ?????????????? 上半球 2 2 2z a x