【正文】 （１） 求點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｃ；（２） 計(jì)算，其中為橢球面位于Ｃ上方的部分。（Ⅰ）求和的方程； （Ⅱ）求和之間的立體體積。（３）點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為五、直線(xiàn)及其方程（１）空間直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)式方程和點(diǎn)向式方程（=t）當(dāng)m=0時(shí)，則方程的點(diǎn)向式記為：（２）直線(xiàn)的一般方程為（３）兩直線(xiàn)的夾角（4) 直線(xiàn)與平面的夾角六、常用二次曲面的方程及其圖形球面 ：橢球面 旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)L是x0z平面上一條曲線(xiàn)，L繞z旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面：得例 例： 稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)雙曲面：，(單)橢圓拋物面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 二次錐面 圓錐面物柱面 （8）柱面 七、常用二次曲面的方程及其圖形（1）空間曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn). (2)空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 (3)空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影消去ｚ的方程曲線(xiàn)關(guān)于面投影柱面　　　　曲線(xiàn)關(guān)于面投影為例１：已知曲線(xiàn)，求曲線(xiàn)距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn). 【分析】曲線(xiàn)上一點(diǎn)到面的距離為，但把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，不便于計(jì)算，因而常把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，把兩個(gè)方程看成約束條件使用拉格朗人數(shù)乘法求解即可。1）點(diǎn)法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0；2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零；（２）平面間的位置關(guān)系1）兩平面垂直：⊥ ⊥；2）兩平面平行：∥ ∥。(2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 例1: 求曲線(xiàn)的全長(zhǎng)（）【解】 令= dx=2tdt 當(dāng)x=0時(shí)t=0 節(jié)當(dāng)x=1時(shí)t=1則==1+。【解】設(shè)切點(diǎn)為切線(xiàn)方程Q切點(diǎn)在切線(xiàn)上，∴ ，∴切線(xiàn)方程：?！窘狻? 所以：S == （2）極坐標(biāo)情形設(shè)圖形由圍成的曲邊扇形，任取上的小曲邊扇形，則： 例９：計(jì)算心形線(xiàn)(常數(shù)a＞０)所圍成圖形的面積：【解】該心形線(xiàn)所圍成圖形為心狀，根據(jù)求曲邊扇形的面積公式：　　　　　　　　　　　再根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性知，所得面積：　　?。粒剑健?[a , b]，故有 ， 即 . 因此 .例８:設(shè)f (x) 在上連續(xù)，且單調(diào)減小，證明，當(dāng)時(shí)，　　【證明】令　　………….三、定積分應(yīng)用1．微元法許多可以化為求在區(qū)間[a , b]上的定積分的實(shí)際問(wèn)題，都可以用這種方法處理，這個(gè)方法稱(chēng)為：元素法。 [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 　　從而 ， 　　由于 G(x) 179。 [a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) g(x)， 　　由題設(shè)G(x) 179。【證】令，　?。剑啊　〈嬖谑沟?，　………,兩次使用中值定理得證?！咀C明】略例３: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，證明存在，使得。例２: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，又，證明存在，使得?！痉治觥糠彩俏⒎种兄刀ɡ碇杏稚婕胺e分中值定理的，應(yīng)首先應(yīng)用積分中值定理獲取一些特定點(diǎn)的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明。教學(xué)提綱一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（１）存在性證明（２）積分表示的不等式的證明三、定積分應(yīng)用1．微元法2．面積（1）直角坐標(biāo)情形（2）極坐標(biāo)情形3．體積4．弧長(zhǎng)1）y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在[a,b]上的曲線(xiàn)可求長(zhǎng)，且弧長(zhǎng)，是弧長(zhǎng)公式?！窘狻苛?， 第九講 定積分的證明題與應(yīng)用教學(xué)目的通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握有關(guān)定積分的存在性問(wèn)題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長(zhǎng)的計(jì)算。但是積分區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，可考慮使用化簡(jiǎn)公式的推導(dǎo)方法。【解】 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察原函數(shù)和不定積分的概念以及分部積分法.例15 計(jì)算【說(shuō)明】涉及到的積分一般有兩種處理方法.(1)用分部積分法。 例11: 所以==例8: .(4)分部積分法當(dāng)積分不好計(jì)算,但容易計(jì)算時(shí),使用分部積分公式: .常見(jiàn)能使用分部積分法的類(lèi)型:(1),等,方法是把移到d后面,分部積分的目的是降低x的次數(shù)(2),等,方法是把移到d后面,分部幾分的目的是化去. 例9:例7：計(jì)算【解】令，且從而被積函數(shù)包含,處理方法是令。例如，求不定積分，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2，使成為例4：例5：例6： .(3)第二換元積分法第二換元積分法用于解決被積函數(shù)帶根式的不定積分，代換方法如下：被積函數(shù)包含,處理方法是令。2不定積分的計(jì)算(1)裂項(xiàng)積分法例1：。(1)裂項(xiàng)積分法；(2)第一換元積分法；(3)第二換元積分法(4)分部積分法 (1)基本積分法； (2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù) (3)利用函數(shù)的奇偶性化簡(jiǎn)定積分 (4)一類(lèi)定積分問(wèn)題第八講　不定積分與定積分的各種計(jì)算方法一、不定積分1不定積分的概念原函數(shù)：若在區(qū)間 上，則稱(chēng)是的一個(gè)原函數(shù). 原函數(shù)的個(gè)數(shù): 若 是 在區(qū)間 上的一個(gè)原函數(shù), 則對(duì) ， 都是在區(qū)間 上的原函數(shù)；若 也是在區(qū)間 上的原函數(shù)，則必有 .可見(jiàn)，若，則的全體原函數(shù)所成集合為{│Ｒ}.原函數(shù)的存在性: 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù). 不定積分：的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱(chēng)為的不定積分。第八講 不定積分與定積分的各種計(jì)算方法教學(xué)目的通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握不定積分與定積分的各種計(jì)算方法。(2) 泰勒公式的展開(kāi)點(diǎn)一般選在特別的中間點(diǎn)或端點(diǎn)。(2) .例５：試確定的值，使得，其中是當(dāng)時(shí)比高階的無(wú)窮小.【分析】題設(shè)方程右邊為關(guān)于的多項(xiàng)式，要聯(lián)想到的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式，比較的同次項(xiàng)系數(shù)，可得的值.【解】將的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式代入題設(shè)等式得 整理得 比較兩邊同次冪系數(shù)得 ，解得 .例6 設(shè)存在，證明 ．【證明】 ,．所以： 例7 設(shè)函數(shù)在［0，1］上有三階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且　　證明：。定理2若函數(shù)f在(a,b)上存在直到n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的 （1）稱(chēng)為泰勒公式的余項(xiàng). 函數(shù)的Maclaurin公式二、應(yīng)用例１： 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .例２： 把函數(shù)展開(kāi)成含項(xiàng)的具Peano型余項(xiàng)的Maclaurin公式 .【解】 , .例３： ，求.【解】又所以， 例4 求極限(1) (2).【分析】用泰勒公式求極限把函數(shù)展開(kāi)到多少次方呢？對(duì)于分子和分母有一個(gè)能確定次數(shù)的，把另一個(gè)展開(kāi)到相同次數(shù)即可，例如：但是對(duì)于分子和分母都不能確定次數(shù)的，要以具體情況而定。【解】 因?yàn)?，所以為垂直漸近線(xiàn)；又 ，所以y=0為水平漸近線(xiàn)；進(jìn)一步，=， = =，于是有斜漸近線(xiàn)：y = x. 例７ 求曲線(xiàn)的漸近線(xiàn).【解】 （3）式 得從而求得此曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)方程為又由易見(jiàn)，垂直漸近線(xiàn)方程為：第七講 泰勒公式及其應(yīng)用教學(xué)目的通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式,帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor公式,函數(shù)的Maclaurin公式, 會(huì)用一階泰勒公式解決問(wèn)題。【解】，由解得，比較，得到在上，的最小值為， 最大值為。(1)最值必在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)和端點(diǎn)取得；(2)最值反映了函數(shù)的整體性質(zhì)；(3)最值的求法：設(shè)在內(nèi)的駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)為，比較的大小，其中最小的是上的最小值，最大的是上的最大值。拐點(diǎn)必定在二階導(dǎo)數(shù)等于0及不可導(dǎo)點(diǎn)取得。設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么（１）若在內(nèi)，則在上的圖形是凹的；（２）若在內(nèi)