【正文】 第一講 求極限的各種方法教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握求極限的各種方法，重點掌握用等價無窮小量代換求極限；用羅必塔法則求極限；用對數(shù)恒等式求極限 ；利用Taylor公式求極限；數(shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解重點難點1．用等價無窮小量代換求極限2．用羅必塔法則求極限3．用對數(shù)恒等式求極限 4．利用Taylor公式求極限 5．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解教學(xué)提綱1．約去零因子求極限2．分子分母同除求極限3．分子(母)有理化求極限4．應(yīng)用兩個重要極限求極限5．用等價無窮小量代換求極限6．用羅必塔法則求極限7．用對數(shù)恒等式求極限 8．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解9．n項和數(shù)列極限問題10．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題第一講　求極限的各種方法求極限是歷年考試的重點，過去數(shù)學(xué)一經(jīng)常考填空題或選擇題，但近年兩次作為大題出現(xiàn)，說明極限作為微積分的基礎(chǔ)，地位有所加強(qiáng)。數(shù)學(xué)二、三一般以大題的形式出現(xiàn)。用等價無窮小量代換求極限，用對數(shù)恒等式求極限是重點，及時分離極限式中的非零因子是解題的重要技巧?！?．約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去?！窘狻?．分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。【解】【評注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；　　(2) 3．分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式?！窘狻坷?：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵　4．應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。例5：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求。5．用等價無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價無窮小有：當(dāng) 時,；(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；＝是不正確的(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】例9：求極限.【解】 6．用羅必塔法則求極限例10：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻坷?1：求　【說明】許多變動上顯的積分表示的極限，常用羅必塔法則求解【解】 7．用對數(shù)恒等式求極限 例12：極限 【說明】（１）該類問題一般用對數(shù)恒等式降低問題的難度　 （２）注意時，【解】 ==例13：求極限.【解】 原式 【又如】　8．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解例14：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用羅必塔法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所以，9．n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算；(2)利用兩邊夾法則求極限。例15：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把看成［0,1］定積分?！窘狻吭剑嚼?6：極限【說明】(1)該題與上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解； (2) 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻恳驗椤　∮帧　　　∷浴　。剑崩?7：求　【說明】該題需要把兩邊夾法則與定積分的定義相結(jié)合方可解決問題?！窘狻?0．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：已知，證明存在，并求該極限【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【解】　該數(shù)列單調(diào)增加有上界，所以存在，設(shè)?。剑翆τ诹睿茫粒郊矗嚼?9：設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計算.【解】 （Ⅰ）因為，則.可推得　，則數(shù)列有界.于是　，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得　，解得，即.（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故　.第二講 無窮小與函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握無窮小量及無窮小量，無窮大量的概念。無窮小量與無窮大量之間的關(guān)系，函數(shù)的連續(xù)性的判定及函數(shù)的間斷點的求法。重點難點1．用等價無窮小量代換求極限2．函數(shù)的連續(xù)性的判3. 間斷點的求法教學(xué)提綱１. 無窮小如果,就說在這個極限過過程中是無窮小量。 ，，就說在這個極限過過程中是無窮大量。３無界量　定義1 函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2) 。那么就稱在點連續(xù)。５、函數(shù)的間斷點 　　　第一類間斷點 左右極限相等（可去間斷點）間斷點 ?。ㄗ笥覙O限都存在） 左右極限不相等（跳躍間斷點） 　　　第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在第二講　無窮小與函數(shù)的連續(xù)性　　無窮小量、函數(shù)的連續(xù)性、間斷點的判定等問題的實質(zhì)是極限問題，理解這些問題的概念，熟練運(yùn)用求極限的方法是解決這類問題的關(guān)鍵。１. 無窮小如果,就說在這個極限過過程中是無窮小量?！菊f明】（1）說一個函數(shù)（數(shù)列）是無窮小量，必需指明在哪個極限過程中。在這個極限過程中是無窮小量，在另一個極限過程中不一定是無窮小量。時，是無窮小量，但時，不是無窮小量；（2）0是唯一可作為無窮小的常數(shù)；（3）作為無窮小量（），主要看低次方項；作為無窮大量（），主要看高次方項；在同一變化過程中如果,就說是比高階的無窮小,記作。如果,就說是比低階的無窮小.如果,就說與是同階無窮小。如果,就說是關(guān)于的k階無窮小，.如果,就說與是等價無窮小,記作.例1：當(dāng)時，與是等價無窮小，則求k.【解】 由題設(shè)， ==，得例2：時無窮小量，排列起來，使排在后面的是排在前面的一個的高階無窮小量。排列順序是（ ） a) ． b) ． c) ． d) ． 【說明】（1）無窮小量的階主要看它和哪個同階，然后再階排定順序； （2）無窮小量求導(dǎo)數(shù)后階數(shù)降低一階?！窘狻?，應(yīng)選Ｂ。例3：設(shè)函數(shù)在＝０的某鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且．證明：存在惟一的一組實數(shù)，使得當(dāng)時， ．【分析】條件告訴我們因而同上。?！咀C】略 ，，就說在這個極限過過程中是無窮大量。定理：當(dāng)自變量在同一變化過程中時，（１）若為無窮大量，則為無窮小量。（２）若為無窮小量，且，則為無窮大量?！菊f明】常見無窮大量的階３無界量　如不存在使，對，都有，則稱在上無界　　，則上無界，則上無界例4：０時，變量 是( C ) a)無窮小 b) 無窮大；c)無界，但不是無窮大； d)有界，但不是無窮小．　 函數(shù)在點的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2) 。那么就稱在點連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù),則稱在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在點右連續(xù),在點左連續(xù),則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。如果,就說函數(shù)在點左連續(xù)。如果,就說函數(shù)在點右連續(xù)。例５：。【解】 ，５、函數(shù)的間斷點,如果函數(shù)有下列三種情形之一:在沒有定義。雖在有定義,但不存在。雖在有定義,且存在,但。則函數(shù)在點為不連續(xù),而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點.間斷點的分類:第一類間斷點:左極限及右極限都存在，可去間斷點: ，(補(bǔ)充定義使之連續(xù))跳躍間斷點:，第二類間斷點: 左極限及右極限至少有一個不存在，無窮間斷點: ， 第一類間斷點 左右極限相等（可去間斷點）間斷點 （左右極限都存在） 左右極限不相等（跳躍間斷點） 第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）例6：求的間斷點，并指出它的類型。【分析】由于初等函數(shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以