【正文】 法二】令【點評】變量替換后幾分的難度大大降低,是每種教材上都有的積分. 定積分的計算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計算.(1)基本積分法例16： 計算【解】 令，則(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù)例17： 計算【解】例18 計算【解】=(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分例19 計算【解】==2+0=2例20 計算【解】=例21 計算【分析】被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶性化簡。但是積分區(qū)間是關于原點對稱的，可考慮使用化簡公式的推導方法?！窘狻苛?， 所以(4)一類定積分問題例22： 已知是連續(xù)函數(shù)，求【分析】本題的解題關鍵是理解定積分是一個固定的常數(shù)?！窘狻苛睿? 第九講 定積分的證明題與應用教學目的通過教學使學生掌握有關定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計算。重點難點1不定積分有關的的存在性問題的證明；2不定積分有關的的不等式的證明；3．面積、體積、弧長的計算。教學提綱一、定積分的性質二、定積分證明題（１）存在性證明（２）積分表示的不等式的證明三、定積分應用1．微元法2．面積（1）直角坐標情形（2）極坐標情形3．體積4．弧長1）y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且連續(xù)，則在[a,b]上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。 2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 第九講　定積分的證明題與應用一、定積分的性質（１）當時，.（２）線性性：（３）區(qū)間可加性：（４）不等性：上，則 .　　　　　　　.（５）積分中值定理：如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號，則在積分區(qū)間上至少存在一個點 ，使. 當時二、定積分證明題例1: 在上連續(xù)，在上可導，又，證明存在，使得?！痉治觥糠彩俏⒎种兄刀ɡ碇杏稚婕胺e分中值定理的，應首先應用積分中值定理獲取一些特定點的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明?！咀C明】在上連續(xù)，在上使用積分中值定理得，存在，即 ，在上使用羅爾中值定理知存在，使得。例２: 在上連續(xù)，在上二階可導，又，證明存在，使得?！痉治觥肯扔梅e分中值定理知存在，三次使用羅爾定理得證?！咀C明】略例３: 在上連續(xù)，在上二階可導，證明存在，使得。例４: 在上連續(xù)，在，證明存在不同的點，使得。【證】令，　　＝０　　存在使得，　………,兩次使用中值定理得證。2. 積分表示的不等式的證明例５:比較大小【證明】在上， 例６: 設f(x),g(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有證：，則F(x)在[0，1]上的導數(shù)連續(xù)，并且，由于時，因此，即F(x)在[0，1]上單調遞減.注意到，而 =，故F(1)=，由此可得對任何，有例7:設f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足，x 206。 [a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) g(x)， 　　由題設G(x) 179。 0，x 206。 [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 　　從而 ， 　　由于 G(x) 179。 0，x 206。 [a , b]，故有 ， 即 . 因此 .例８:設f (x) 在上連續(xù)，且單調減小，證明，當時，　　【證明】令　　………….三、定積分應用1．微元法許多可以化為求在區(qū)間[a , b]上的定積分的實際問題，都可以用這種方法處理，這個方法稱為：元素法。其步驟如下：2．面積（1）直角坐標情形設圖形由，（ab）圍成，且， 則所圍成的面積A： 例８：計算由曲線?！窘狻? 所以：S == （2）極坐標情形設圖形由圍成的曲邊扇形，任取上的小曲邊扇形，則： 例９：計算心形線(常數(shù)a＞０)所圍成圖形的面積：【解】該心形線所圍成圖形為心狀，根據(jù)求曲邊扇形的面積公式：　　　　　　　　　　　再根據(jù)圖形的對稱性知，所得面積：　　　Ａ＝＝。3．體積（1）平行截面已知的立方體體積:.（2）旋轉體的體積:對曲線, , .例10：過點作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉而成的旋轉體體積?！窘狻吭O切點為切線方程Q切點在切線上，∴ ，∴切線方程：。4弧長(1)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可導，且連續(xù)，則在[a,b]上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。(2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 例1: 求曲線的全長（）【解】 令= dx=2tdt 當x=0時t=0 節(jié)當x=1時t=1則==1+。第十講 空間解析幾何中的問題教學目的通過教學讓學生掌握向量的基本概念，向量的數(shù)量積，向量的向量積，平面及其方程，直線及其方程，常用二次曲面的方程及其圖形，常用二次曲面的方程及其圖形重點難點重點：向量的數(shù)量積，向量的向量積，平面方程，直線方程難點：常用二次曲線、二次曲面的方程及其圖形.教學提綱一、向量的基本概念二、兩向量的數(shù)量積三、兩向量的向量積四、平面及其方程五、直線及其方程六、常用二次曲面的方程及其圖形七、常用二次曲面的方程及其圖形第十講　空間解析幾何中的問題一、向量的基本概念（１）坐標系（２）兩點間的距離公式（３）向量的坐標表示（４）向量的長度向量的單位化（５）向量的方向二、兩向量的數(shù)量積（１）（２）（６）：三、兩向量的向量積（１）設、為向量，作向量使得：垂直于所確定的平面，指向按右手法則（２）（３）應用　　１）利用向量積求出同時垂直兩個已知矢量的矢量；　?。玻┧?、平面及其方程（１）已知平面p過點M0（x0、y0、z0），為p的法矢量。1）點法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0；2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零；（２）平面間的位置關系1）兩平面垂直：⊥ ⊥；2）兩平面平行：∥ ∥。3）平面間的夾角（常指銳角）：。（３）點到平面的距離點M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為五、直線及其方程（１）空間直線的對稱式方程和點向式方程（=t）當m=0時，則方程的點向式記為：（２）直線的一般方程為（３）兩直線的夾角（4) 直線與平面的夾角六、常用二次曲面的方程及其圖形球面 ：橢球面 旋轉曲面設L是x0z平面上一條曲線，L繞z旋轉一周所得旋轉曲面：得例 例： 稱為旋轉拋物面旋轉雙曲面：，(單)橢圓拋物面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 二次錐面 圓錐面物柱面 （8）柱面 七、常用二次曲面的方程及其圖形（1）空間曲線C可看作空間兩曲面的交線. (2)空間曲線的參數(shù)方程 (3)空間曲線在坐標面上的投影消去ｚ的方程曲線關于面投影柱面　　　　曲線關于面投影為例１：已知曲線，求曲線距離面最遠的點和最近的點. 【分析】曲線上一點到面的距離為，但把目標函數(shù)設為，不便于計算，因而常把目標函數(shù)設為，把兩個方程看成約束條件使用拉格朗人數(shù)乘法求解即可?！窘狻? 由前兩個方程知，代入后兩個方程知求的解最遠的點和最近的點. 例２：橢球面是橢圓繞X軸旋轉而成，圓錐面是由過點（4, 0）且與橢圓相切的直線繞X軸旋轉而成。（Ⅰ）求和的方程； （Ⅱ）求和之間的立體體積。【分析】設L是平面上一條曲線，L繞旋轉一周所得旋轉曲面為【解】設過點（4,0）與橢圓相切的直線方程為設切點為，則，又得，上方切線為　例３：設為橢球面S:的動點，若S在處的切平面與面垂直。（１） 求點Ｐ的軌跡Ｃ；（２） 計算，其中為橢球面位于Ｃ上方的部分。61