考研數(shù)學(xué)超強(qiáng)題型總結(jié),不怕你考不了高分-資料下載頁
2025-04-04 04:49本頁面
【正文】 法二】令【點(diǎn)評】變量替換后幾分的難度大大降低,是每種教材上都有的積分. 定積分的計(jì)算主要用牛頓萊布尼茲公式通過不定積分計(jì)算.(1)基本積分法例16： 計(jì)算【解】 令，則(2)分割區(qū)域處理分段函數(shù)、絕對值函數(shù)、取整函數(shù)、最大值最小值函數(shù)例17： 計(jì)算【解】例18 計(jì)算【解】=(3)利用函數(shù)的奇偶性化簡定積分例19 計(jì)算【解】==2+0=2例20 計(jì)算【解】=例21 計(jì)算【分析】被積函數(shù)即不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，無法利用函數(shù)的奇偶性化簡。但是積分區(qū)間是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，可考慮使用化簡公式的推導(dǎo)方法?！窘狻苛?， 所以(4)一類定積分問題例22： 已知是連續(xù)函數(shù)，求【分析】本題的解題關(guān)鍵是理解定積分是一個(gè)固定的常數(shù)?！窘狻苛?， 第九講 定積分的證明題與應(yīng)用教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握有關(guān)定積分的存在性問題與不等式的證明方法，掌握微元法、面積、體積及弧長的計(jì)算。重點(diǎn)難點(diǎn)1不定積分有關(guān)的的存在性問題的證明；2不定積分有關(guān)的的不等式的證明；3．面積、體積、弧長的計(jì)算。教學(xué)提綱一、定積分的性質(zhì)二、定積分證明題（１）存在性證明（２）積分表示的不等式的證明三、定積分應(yīng)用1．微元法2．面積（1）直角坐標(biāo)情形（2）極坐標(biāo)情形3．體積4．弧長1）y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在[a,b]上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。 2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 第九講 定積分的證明題與應(yīng)用一、定積分的性質(zhì)（１）當(dāng)時(shí)，.（２）線性性：（３）區(qū)間可加性：（４）不等性：上，則 . .（５）積分中值定理：如果函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，在上不變號(hào)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使. 當(dāng)時(shí)二、定積分證明題例1: 在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，又，證明存在，使得?！痉治觥糠彩俏⒎种兄刀ɡ碇杏稚婕胺e分中值定理的，應(yīng)首先應(yīng)用積分中值定理獲取一些特定點(diǎn)的函數(shù)值信息，再用微分中值定理證明?！咀C明】在上連續(xù)，在上使用積分中值定理得，存在，即 ，在上使用羅爾中值定理知存在，使得。例２: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，又，證明存在，使得。【分析】先用積分中值定理知存在，三次使用羅爾定理得證?！咀C明】略例３: 在上連續(xù)，在上二階可導(dǎo)，證明存在，使得。例４: 在上連續(xù)，在，證明存在不同的點(diǎn)，使得?！咀C】令， ?。剑啊 〈嬖谑沟?， ………,兩次使用中值定理得證。2. 積分表示的不等式的證明例５:比較大小【證明】在上， 例６: 設(shè)f(x),g(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且f(0)=0,.證明：對任何a,有證：，則F(x)在[0，1]上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，并且，由于時(shí)，因此，即F(x)在[0，1]上單調(diào)遞減.注意到，而 =，故F(1)=，由此可得對任何，有例7:設(shè)f (x) , g(x)在[a , b]上連續(xù)，且滿足，x 206。 [a , b)，.證明：.【證明】令F(x) = f (x) g(x)， 由題設(shè)G(x) 179。 0，x 206。 [a , b]， G(a) = G(b) = 0，. 從而 ， 由于 G(x) 179。 0，x 206。 [a , b]，故有 ， 即 . 因此 .例８:設(shè)f (x) 在上連續(xù)，且單調(diào)減小，證明，當(dāng)時(shí)， 【證明】令 ………….三、定積分應(yīng)用1．微元法許多可以化為求在區(qū)間[a , b]上的定積分的實(shí)際問題，都可以用這種方法處理，這個(gè)方法稱為：元素法。其步驟如下：2．面積（1）直角坐標(biāo)情形設(shè)圖形由，（ab）圍成，且， 則所圍成的面積A： 例８：計(jì)算由曲線?！窘狻? 所以：S == （2）極坐標(biāo)情形設(shè)圖形由圍成的曲邊扇形，任取上的小曲邊扇形，則： 例９：計(jì)算心形線(常數(shù)a＞０)所圍成圖形的面積：【解】該心形線所圍成圖形為心狀，根據(jù)求曲邊扇形的面積公式： 再根據(jù)圖形的對稱性知，所得面積： ?。粒剑健?．體積（1）平行截面已知的立方體體積:.（2）旋轉(zhuǎn)體的體積:對曲線, , .例10：過點(diǎn)作拋物線的切線，求該切線與拋物線及軸所圍平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積?！窘狻吭O(shè)切點(diǎn)為切線方程Q切點(diǎn)在切線上，∴ ，∴切線方程：。4弧長(1)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且連續(xù)，則在[a,b]上的曲線可求長，且弧長，是弧長公式。(2）參數(shù)方程 （）在上連續(xù)，則 例1: 求曲線的全長（）【解】 令= dx=2tdt 當(dāng)x=0時(shí)t=0 節(jié)當(dāng)x=1時(shí)t=1則==1+。第十講 空間解析幾何中的問題教學(xué)目的通過教學(xué)讓學(xué)生掌握向量的基本概念，向量的數(shù)量積，向量的向量積，平面及其方程，直線及其方程，常用二次曲面的方程及其圖形，常用二次曲面的方程及其圖形重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：向量的數(shù)量積，向量的向量積，平面方程，直線方程難點(diǎn)：常用二次曲線、二次曲面的方程及其圖形.教學(xué)提綱一、向量的基本概念二、兩向量的數(shù)量積三、兩向量的向量積四、平面及其方程五、直線及其方程六、常用二次曲面的方程及其圖形七、常用二次曲面的方程及其圖形第十講 空間解析幾何中的問題一、向量的基本概念（１）坐標(biāo)系（２）兩點(diǎn)間的距離公式（３）向量的坐標(biāo)表示（４）向量的長度向量的單位化（５）向量的方向二、兩向量的數(shù)量積（１）（２）（６）：三、兩向量的向量積（１）設(shè)、為向量，作向量使得：垂直于所確定的平面，指向按右手法則（２）（３）應(yīng)用 ?。保├孟蛄糠e求出同時(shí)垂直兩個(gè)已知矢量的矢量； ２）四、平面及其方程（１）已知平面p過點(diǎn)M0（x0、y0、z0），為p的法矢量。1）點(diǎn)法式：A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0；2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全為零；（２）平面間的位置關(guān)系1）兩平面垂直：⊥ ⊥；2）兩平面平行：∥ ∥。3）平面間的夾角（常指銳角）：。（３）點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距離為五、直線及其方程（１）空間直線的對稱式方程和點(diǎn)向式方程（=t）當(dāng)m=0時(shí)，則方程的點(diǎn)向式記為：（２）直線的一般方程為（３）兩直線的夾角（4) 直線與平面的夾角六、常用二次曲面的方程及其圖形球面 ：橢球面 旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)L是x0z平面上一條曲線，L繞z旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面：得例 例： 稱為旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)雙曲面：，(單)橢圓拋物面 單葉雙曲面 雙葉雙曲面 二次錐面 圓錐面物柱面 （8）柱面 七、常用二次曲面的方程及其圖形（1）空間曲線C可看作空間兩曲面的交線. (2)空間曲線的參數(shù)方程 (3)空間曲線在坐標(biāo)面上的投影消去ｚ的方程曲線關(guān)于面投影柱面 曲線關(guān)于面投影為例１：已知曲線，求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn). 【分析】曲線上一點(diǎn)到面的距離為，但把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，不便于計(jì)算，因而常把目標(biāo)函數(shù)設(shè)為，把兩個(gè)方程看成約束條件使用拉格朗人數(shù)乘法求解即可?！窘狻? 由前兩個(gè)方程知，代入后兩個(gè)方程知求的解最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn). 例２：橢球面是橢圓繞X軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面是由過點(diǎn)（4, 0）且與橢圓相切的直線繞X軸旋轉(zhuǎn)而成。（Ⅰ）求和的方程； （Ⅱ）求和之間的立體體積。【分析】設(shè)L是平面上一條曲線，L繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為【解】設(shè)過點(diǎn)（4,0）與橢圓相切的直線方程為設(shè)切點(diǎn)為，則，又得，上方切線為 例３：設(shè)為橢球面S:的動(dòng)點(diǎn)，若S在處的切平面與面垂直。（１） 求點(diǎn)Ｐ的軌跡Ｃ；（２） 計(jì)算，其中為橢球面位于Ｃ上方的部分。61
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