【正文】 可導(dǎo)，試確定的值。重點(diǎn)掌握分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、參數(shù)（極坐標(biāo)）方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！窘狻浚堑诙愰g斷點(diǎn)　　，是第一類間斷點(diǎn)　　，是第二類間斷點(diǎn)例7：，求的間斷點(diǎn)，并指出其類型．【解】 可去間斷點(diǎn)，第二類間斷點(diǎn)，例8：,=？時,在x=0點(diǎn)連續(xù)，x=0是可去間斷點(diǎn)。雖在有定義,但不存在。如果,就說函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)。【說明】常見無窮大量的階３無界量　如不存在使，對，都有，則稱在上無界　　，則上無界，則上無界例4：０時，變量 是( C ) a)無窮小 b) 無窮大；c)無界，但不是無窮大； d)有界，但不是無窮小．　 函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2) 。Ｂ。如果,就說是比低階的無窮小.如果,就說與是同階無窮小。１. 無窮小如果,就說在這個極限過過程中是無窮小量。 ，就說在這個極限過過程中是無窮大量?！窘狻?0．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：已知，證明存在，并求該極限【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在. 【解】　該數(shù)列單調(diào)增加有上界，所以存在，設(shè)?。剑翆τ诹?，得Ａ＝即【解】考慮輔助極限所以，9．n項(xiàng)和數(shù)列極限問題n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計算；(2)利用兩邊夾法則求極限?！窘狻坷?：(1)；(2)已知，求?！窘狻俊驹u注】(1) 一般分子分母同除的最高次方；　　(2) 3．分子(母)有理化求極限例3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。數(shù)學(xué)二、三一般以大題的形式出現(xiàn)。用等價無窮小量代換求極限，用對數(shù)恒等式求極限是重點(diǎn)，及時分離極限式中的非零因子是解題的重要技巧。【解】例4：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵　4．應(yīng)用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實(shí)現(xiàn)。5．用等價無窮小量代換求極限【說明】(1)常見等價無窮小有：當(dāng) 時,；(2) 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；＝是不正確的(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。例15：極限【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計算,是把看成［0,1］定積分。＝例19：設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計算.【解】 （Ⅰ）因?yàn)?，則.可推得　，則數(shù)列有界.于是　，（因當(dāng)）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得　，解得，即.（Ⅱ）　因　，由（Ⅰ）知該極限為型， (使用了羅必塔法則)故　.第二講 無窮小與函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的通過教學(xué)使學(xué)生掌握無窮小量及無窮小量，無窮大量的概念。３無界量　定義1 函數(shù)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果(1)極限存在；(2) ?！菊f明】（1）說一個函數(shù)（數(shù)列）是無窮小量，必需指明在哪個極限過程中。如果,就說是關(guān)于的k階無窮小，.如果,就說與是等價無窮小,記作.例1：當(dāng)時，與是等價無窮小，則求k.【解】 由題設(shè)， ==，得例2：時無窮小量，排列起來，使排在后面的是排在前面的一個的高階無窮小量。例3：設(shè)函數(shù)在＝０的某鄰域具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且．證明：存在惟一的一組實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時， ．【分析】條件告訴我們因而同上。（２）若為無窮小量，且，則為無窮大量。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在點(diǎn)右連續(xù),在點(diǎn)左連續(xù),則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)?！窘狻? ，５、函數(shù)的間斷點(diǎn),如果函數(shù)有下列三種情形之一:在沒有定義?！痉治觥坑捎诔醯群瘮?shù)在定義域內(nèi)都是連續(xù)的，所以間斷點(diǎn)必定是無定義的或分段函數(shù)的分點(diǎn)。重點(diǎn)難點(diǎn)1．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法2．參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法3．形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對數(shù)求導(dǎo)法４. 變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)提綱一、基本概念1．導(dǎo)數(shù)及其變形2．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過左右導(dǎo)數(shù)來求二、求導(dǎo)方法３．隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法4．參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法６．形如的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法――取對數(shù)求導(dǎo)法７．分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)８．變動上線的積分表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)　　第三講　導(dǎo)數(shù)與微分法研究　 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的基礎(chǔ)，經(jīng)常出選擇題與填空題，可作為求極限、求駐點(diǎn)、求拐點(diǎn)、求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分等問題的基礎(chǔ)?！居懻摗?，分別有幾個不可導(dǎo)點(diǎn)。此時，切線方程為：；法線方程為：。【解】略設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果因變量的增量可表示為，其中A是不依賴于的常數(shù)，而是時比高階的無窮小，那么稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的。（2）計算導(dǎo)數(shù)的方法，　　例7:函數(shù)由參數(shù)方程確定，求　，【解】　　例8:函數(shù)由方程確定，求　【解】略5．極坐標(biāo)方程表示的的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法設(shè)極坐標(biāo)方程為，化為直角坐標(biāo)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)求解。(3) 設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上二階可微，證明存在，使得結(jié)論中包含和二階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般三次使用中值定理或用泰勒公式。這一問題的突破點(diǎn)是選擇正確的解題思路并合理構(gòu)造輔助函數(shù)，有時輔助函數(shù)需要借助微分方程來尋找尋找。(4)介值性：若，分別是在上的最大值和最小值，則，在至少存在一點(diǎn)，使。(4)設(shè)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上三次（或以上）可導(dǎo)，證明存在，使得結(jié)論中包含和三階導(dǎo)數(shù)的等式成立，一般用泰勒公式。例設(shè)在[0，2a]上連續(xù)，證明在[0,a]上存在使得 .【分析】【證明】令，．在[0,a]上連續(xù)，且　　　　當(dāng)時，取，即有；當(dāng)時，由根的存在性定理知存在使得，即．例2設(shè)函數(shù)f(x)在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=，使【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點(diǎn)c，使得，然后在[c,3]上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達(dá)到目的.【證明】 因?yàn)閒(x)在[0，3]上連續(xù)，所以f(x)在[0，2]上連續(xù)，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是 ， ，.故由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 因?yàn)閒(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理知，必存在，使例設(shè)函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，證明：在(0,1)內(nèi)存在，使得．【分析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)，可如下分析：【證明】令，則在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且　　　　,由羅爾中值定理知，存在，使得．即例4設(shè)函數(shù)在［0，1］上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：（）．【分析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)， 令 【證明】略例5設(shè)函數(shù)在［0，1］上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且證明：(1)(2)對于任意實(shí)數(shù)，【分析】本題的難點(diǎn)是構(gòu)造輔助函數(shù)， 令例設(shè)函數(shù)在［0，1］上連續(xù)，（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且　　證明：（為自然數(shù)）．【分析】本題構(gòu)造輔助函數(shù)的難度大于上一題，需要積分（即解微分方程）方可得到：【證明】令，則在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且，即，又，約去，整理得證．例設(shè)函數(shù)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在，使得． (2) 在(0,1)內(nèi)存在兩個不同的點(diǎn)，【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】 （I） 令，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=10, F(1)=10,于是由介值定理知，存在存在 使得，即.（II） 在和上對f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，知存在兩