【正文】 非齊次線性方Ax=b是否有解對應(yīng)于b是否可以由A的列向量組線性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁：行列式 線性相關(guān)線性方程組 以上這些是大量擴展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識點時的必經(jīng)之路——“兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。另外，線性代數(shù)部分在考試時會經(jīng)常直接考一些”雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：1. 一個線性無關(guān)的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。如果向量組a1,a2am可由向量組b1,b2bn線性表示，則有r(a1,a2am)163。r(b1,b2bn)。等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量；任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。22 2. 233。1249。233。0249。233。0249。234。0234。1234。0常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；234。、234。、234。這樣的單位向量組；不同特征值234。235。0234。235。0234。235。1關(guān)于秩的一些結(jié)論：對應(yīng)的特征向量。 3. r(Am180。n)163。min{m,n}；r(A*)=1219。r(A)=n1；r(A),r(B)}；r(A+B)163。r(A)+r(B)；若有r(AT)=r(A)=r(ATA)；r(AB)163。min{Am180。n、Bn180。s滿足AB=0，則r(A)+r(B)163。n；若A逆則有r(AB)=r(A)。非齊次線性方程組是可逆矩陣則有r(AB)=r(B)；同樣若B可Ax=b有唯一解則對應(yīng)齊次方程組Ax=0僅有零解，若Ax=b有無窮多解則Ax=0有非零解；若Ax=b有兩個不同的解則Ax=0有非零解；若A是m180。n矩陣而r(A)=m則Ax=b一定有解，而且當m=n時是唯一解，當mn時是無窮多解，而若r(A)=n則Ax=b沒有解或有唯一解。 線代第五章《特征值和特征向量》相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關(guān)題目要用到線代中的大量，則有|A|=l1l2ln；若矩陣A有特征值l，則kA、AaA+bE、f(A)、AA*分別有特征值kl、lal+b、1|A|f(l)ll，且對應(yīng)特征向量等于l所對應(yīng)的特征向量，而若2分別為矩陣llA、B的特征值，則l12不一定為AB的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為B陣=P1AP，需要區(qū)分矩陣的相似、等價與合同：矩陣A與矩B等價（A@B）的定義式是PAQ=B，其中P、Q為可逆矩陣，此時矩陣A可通B，并有r(A)=r(B)；當PAQ=B中的P、Q互逆時就變成了矩23 過初等變換化為矩陣 陣相似（A187。B）的定義式，即有B=P1AP，此時滿足r(A)=r(B)、|A|=|B|、|lEA|=|lEB|，并且A、B有相同的特征值。矩陣合同的定義是PTAP=B，其中P為可逆矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。3. 矩陣可相似對角化的條件。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件1是線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是條件1是4. A與B合同或相似則A與B必等價，反之n階矩陣A有n個A的任意k重特征根對應(yīng)有k個線性無關(guān)的特征向量；充分A有n個互不相同的特征值；充分條件2是A為實對稱矩陣。 實對稱矩陣極其相似對角化。得P1n階實對稱矩陣A必可正交、相似于對角陣L，即有正交陣P使AP=PTAP=L而且正交陣P由A對應(yīng)的幾個正交的特征向量組成。其實本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：kk1PAAAPAP=L（對以求方陣的冪作為思路的起點，直接乘來求比較困難，但如果有矩陣使得滿足角陣）的話就簡單多了，因為此時Ak=PLP1PLP1PLP1=PLkP1，而對角陣bk249。代如上式即得ck233。a249。L=234。b234。234。c235。的冪Lk233。ak234。就等于234。234。235。Ak。而矩陣相似對角化的定義式正是P1AP=L。所以可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且P1AP=L中的P、L也分別是由A的特征向量和特征值決定的。以上思路在本章的地位并不重要，因為與第三、四章知識點的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時這條思路一般不會被用到。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對于做題時打開思路用處不大。 線代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標準型的方法，對于其它知識點僅要求了解。在理年真題中本章知識點出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在A存在正交矩陣P使得A可以相A為實對稱矩陣時的應(yīng)用。將本章與上一章中相似對角化部分的內(nèi)容作比較會有助于理解記憶“化二次型為標準型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。 24 2 概率部分 概率這門課的特點與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時間復(fù)習概率也更為劃算。但與線代一樣，概率也常常被忽視，有時甚至被忽略。一般的數(shù)學考研參考書是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習完高數(shù)和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占60%和20的分值，復(fù)習完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習。概率這門課如果有難點就應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導(dǎo)相互聯(lián)系來理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來記這些點的話，不但難度大耗時多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。記得當初看到陳文燈復(fù)習指南概率部分第二章《隨機變量及其分布》、第三章《隨機變量的數(shù)字特征》中在每章開始列出的那些大表格時，感覺其中必然會有很多內(nèi)容是超綱的、不用細看；但后來復(fù)習時才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對于概率部分相當多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。 概率第一章《隨機事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時難題很少。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運算的題目，大多圍繞形如P(AB)=P(AB)、P(B|A)=P(B|A)、P(A+B+C)這樣的式子利用各種概率運算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件A若與事件B有包含關(guān)系B201。A，則可作圖長方形內(nèi)的點都屬于B的范圍，圓形則代表A的范圍。這樣一來即易看出事件包含關(guān)系的定義“A發(fā)生時B必發(fā)生，B發(fā)生時A不一定發(fā)生”；事件A與B的并A200。B可作圖，則A200。B是A、B兩個圓形（包含相交部分），對于這個大圖形中的任意一點來說，不是屬于的定義；同理，事件A就是屬于B，體現(xiàn)了A200。B “事件A與B至少有一個發(fā)生”A與B的差A(yù)199。B表示事件A與B同時發(fā)生，在上圖中所有滿足條件的點組成了兩圓相交的那一部分。對于其它的概率運算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來得到答案。如公式 25 P(A200。B200。C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)可以借助右圖表示公式左端的P(A200。B200。C)等于A、B、C三個圓形各自互不相交的三部分再A、B、C各自互不相交加上a,b,c,d四小部分，而公式右端中的P(A)+P(B)+P(C)代表的區(qū)域包括的三部分=(2a+2b+2c+2d)，比左端多加了一次a,b,c和兩次d，這時等式是不平衡的；再減去[P(AB)+P(BC)+P(AC)]即是2a+2b+2c+3d(a+d)(c+d)=a+b+c，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊d，加上即可，故再加P(ABC)后等式成立。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件與事件B對立就是A與事件B互斥也叫A與B不相容，即A199。B=f，事件AA與B互逆，即為A與A的關(guān)系。 236。P(AB)=P(A)P(AB)(1)239。公式組237。在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個公式間P(AB)=P(A)P(B|A)(2)239。P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨立)(3)238。的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件概率等于A、B同時發(fā)生的A發(fā)生的概率減去A發(fā)生而B不發(fā)生的概率；（2）式表示事件A、B同時發(fā)生的概率等于A發(fā)生的A發(fā)生的條件下B也發(fā)生的概率；當A、B相互獨立時，也就是指事件A與事件B的發(fā)生互不影此時應(yīng)該有概率乘以在響，P(B|A)=P(B)、P(A|B)=P(A)所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P