【正文】 非齊次線(xiàn)性方Ax=b是否有解對(duì)應(yīng)于b是否可以由A的列向量組線(xiàn)性表出。以上兩條性質(zhì)可視為是將線(xiàn)性相關(guān)、行列式、秩、線(xiàn)性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁：行列式 線(xiàn)性相關(guān)線(xiàn)性方程組 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識(shí)點(diǎn)時(shí)的必經(jīng)之路——“兵家必爭(zhēng)之地”，怎么重視都不為過(guò)。另外，線(xiàn)性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接考一些”雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來(lái)”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說(shuō)不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲：1. 一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線(xiàn)性表示。如果向量組a1,a2am可由向量組b1,b2bn線(xiàn)性表示，則有r(a1,a2am)163。r(b1,b2bn)。等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；任何一個(gè)向量組都與它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組等價(jià)。22 2. 233。1249。233。0249。233。0249。234。0234。1234。0常見(jiàn)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；234。、234。、234。這樣的單位向量組；不同特征值234。235。0234。235。0234。235。1關(guān)于秩的一些結(jié)論：對(duì)應(yīng)的特征向量。 3. r(Am180。n)163。min{m,n}；r(A*)=1219。r(A)=n1；r(A),r(B)}；r(A+B)163。r(A)+r(B)；若有r(AT)=r(A)=r(ATA)；r(AB)163。min{Am180。n、Bn180。s滿(mǎn)足AB=0，則r(A)+r(B)163。n；若A逆則有r(AB)=r(A)。非齊次線(xiàn)性方程組是可逆矩陣則有r(AB)=r(B)；同樣若B可Ax=b有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0僅有零解，若Ax=b有無(wú)窮多解則Ax=0有非零解；若Ax=b有兩個(gè)不同的解則Ax=0有非零解；若A是m180。n矩陣而r(A)=m則Ax=b一定有解，而且當(dāng)m=n時(shí)是唯一解，當(dāng)mn時(shí)是無(wú)窮多解，而若r(A)=n則Ax=b沒(méi)有解或有唯一解。 線(xiàn)代第五章《特征值和特征向量》相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線(xiàn)代中的大量，則有|A|=l1l2ln；若矩陣A有特征值l，則kA、AaA+bE、f(A)、AA*分別有特征值kl、lal+b、1|A|f(l)ll，且對(duì)應(yīng)特征向量等于l所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若2分別為矩陣llA、B的特征值，則l12不一定為AB的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為B陣=P1AP，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣A與矩B等價(jià)（A@B）的定義式是PAQ=B，其中P、Q為可逆矩陣，此時(shí)矩陣A可通B，并有r(A)=r(B)；當(dāng)PAQ=B中的P、Q互逆時(shí)就變成了矩23 過(guò)初等變換化為矩陣 陣相似（A187。B）的定義式，即有B=P1AP，此時(shí)滿(mǎn)足r(A)=r(B)、|A|=|B|、|lEA|=|lEB|，并且A、B有相同的特征值。矩陣合同的定義是PTAP=B，其中P為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件，充要條件1是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是條件1是4. A與B合同或相似則A與B必等價(jià)，反之n階矩陣A有n個(gè)A的任意k重特征根對(duì)應(yīng)有k個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；充分A有n個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣極其相似對(duì)角化。得P1n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A必可正交、相似于對(duì)角陣L，即有正交陣P使AP=PTAP=L而且正交陣P由A對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類(lèi)似于第三章向量與第四章線(xiàn)性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：kk1PAAAPAP=L（對(duì)以求方陣的冪作為思路的起點(diǎn)，直接乘來(lái)求比較困難，但如果有矩陣使得滿(mǎn)足角陣）的話(huà)就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)Ak=PLP1PLP1PLP1=PLkP1，而對(duì)角陣bk249。代如上式即得ck233。a249。L=234。b234。234。c235。的冪Lk233。ak234。就等于234。234。235。Ak。而矩陣相似對(duì)角化的定義式正是P1AP=L。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且P1AP=L中的P、L也分別是由A的特征向量和特征值決定的。以上思路在本章的地位并不重要，因?yàn)榕c第三、四章知識(shí)點(diǎn)的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時(shí)這條思路一般不會(huì)被用到。而考察線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話(huà)。所以前面的討論可以用來(lái)輔助理解，但對(duì)于做題時(shí)打開(kāi)思路用處不大。 線(xiàn)代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對(duì)于其它知識(shí)點(diǎn)僅要求了解。在理年真題中本章知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)次數(shù)不多，但也考過(guò)大題。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在A存在正交矩陣P使得A可以相A為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣時(shí)的應(yīng)用。將本章與上一章中相似對(duì)角化部分的內(nèi)容作比較會(huì)有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因?yàn)榇缶V對(duì)本章要求不高，所以不必深究。 24 2 概率部分 概率這門(mén)課的特點(diǎn)與線(xiàn)性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時(shí)間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。但與線(xiàn)代一樣，概率也常常被忽視，有時(shí)甚至被忽略。一般的數(shù)學(xué)考研參考書(shū)是按高數(shù)、線(xiàn)代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線(xiàn)代以后有可能時(shí)間所剩無(wú)多；而且因?yàn)榍皟刹糠址謩e占60%和20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會(huì)有點(diǎn)滿(mǎn)足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。概率這門(mén)課如果有難點(diǎn)就應(yīng)該是“記憶量大”。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡(jiǎn)單，還有很多可以借助理解來(lái)記憶；在線(xiàn)代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過(guò)推導(dǎo)相互聯(lián)系來(lái)理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點(diǎn)；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來(lái)記這些點(diǎn)的話(huà)，不但難度大耗時(shí)多而且沒(méi)有更多的用處（因?yàn)楦怕什糠挚荚嚂r(shí)對(duì)公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過(guò)程及聯(lián)系并沒(méi)有什么要求，一般不會(huì)在更深的層次上出題）。記得當(dāng)初看到陳文燈復(fù)習(xí)指南概率部分第二章《隨機(jī)變量及其分布》、第三章《隨機(jī)變量的數(shù)字特征》中在每章開(kāi)始列出的那些大表格時(shí)，感覺(jué)其中必然會(huì)有很多內(nèi)容是超綱的、不用細(xì)看；但后來(lái)復(fù)習(xí)時(shí)才發(fā)現(xiàn)，可以省略不看的內(nèi)容少之又少，由大量的內(nèi)容需要記憶。所以對(duì)于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過(guò)足量做題再來(lái)牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。記牢公式性質(zhì)，同時(shí)保證足夠的習(xí)題量，考試時(shí)概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。 概率第一章《隨機(jī)事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。雖然對(duì)于本章中的古典概型可以出很難的題目，但大綱的要求并不高，考試時(shí)難題很少。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的題目，大多圍繞形如P(AB)=P(AB)、P(B|A)=P(B|A)、P(A+B+C)這樣的式子利用各種概率運(yùn)算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。在“概率事件的關(guān)系及運(yùn)算”部分有很多公式可以借助畫(huà)集合運(yùn)算圖來(lái)輔助做題，比如事件A若與事件B有包含關(guān)系B201。A，則可作圖長(zhǎng)方形內(nèi)的點(diǎn)都屬于B的范圍，圓形則代表A的范圍。這樣一來(lái)即易看出事件包含關(guān)系的定義“A發(fā)生時(shí)B必發(fā)生，B發(fā)生時(shí)A不一定發(fā)生”；事件A與B的并A200。B可作圖，則A200。B是A、B兩個(gè)圓形（包含相交部分），對(duì)于這個(gè)大圖形中的任意一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，不是屬于的定義；同理，事件A就是屬于B，體現(xiàn)了A200。B “事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”A與B的差A(yù)199。B表示事件A與B同時(shí)發(fā)生，在上圖中所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)組成了兩圓相交的那一部分。對(duì)于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過(guò)作圖來(lái)得到答案。如公式 25 P(A200。B200。C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)可以借助右圖表示公式左端的P(A200。B200。C)等于A、B、C三個(gè)圓形各自互不相交的三部分再A、B、C各自互不相交加上a,b,c,d四小部分，而公式右端中的P(A)+P(B)+P(C)代表的區(qū)域包括的三部分=(2a+2b+2c+2d)，比左端多加了一次a,b,c和兩次d，這時(shí)等式是不平衡的；再減去[P(AB)+P(BC)+P(AC)]即是2a+2b+2c+3d(a+d)(c+d)=a+b+c，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊d，加上即可，故再加P(ABC)后等式成立。區(qū)別互斥、互逆、對(duì)立與不相容：事件與事件B對(duì)立就是A與事件B互斥也叫A與B不相容，即A199。B=f，事件AA與B互逆，即為A與A的關(guān)系。 236。P(AB)=P(A)P(AB)(1)239。公式組237。在歷年考研真題中頻繁用到，很多題利用這三個(gè)公式間P(AB)=P(A)P(B|A)(2)239。P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨(dú)立)(3)238。的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。這三個(gè)公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件概率等于A、B同時(shí)發(fā)生的A發(fā)生的概率減去A發(fā)生而B(niǎo)不發(fā)生的概率；（2）式表示事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率等于A發(fā)生的A發(fā)生的條件下B也發(fā)生的概率；當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí)，也就是指事件A與事件B的發(fā)生互不影此時(shí)應(yīng)該有概率乘以在響，P(B|A)=P(B)、P(A|B)=P(A)所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P