【正文】 的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系很容易求得答案。P(AB)=P(A)P(AB)(1)239。C)等于A、B、C三個圓形各自互不相交的三部分再A、B、C各自互不相交加上a,b,c,d四小部分，而公式右端中的P(A)+P(B)+P(C)代表的區(qū)域包括的三部分=(2a+2b+2c+2d)，比左端多加了一次a,b,c和兩次d，這時等式是不平衡的；再減去[P(AB)+P(BC)+P(AC)]即是2a+2b+2c+3d(a+d)(c+d)=a+b+c，與公式左端所代表的圖形相比只少了一塊d，加上即可，故再加P(ABC)后等式成立。如公式 25 P(A200。B是A、B兩個圓形（包含相交部分），對于這個大圖形中的任意一點來說，不是屬于的定義；同理，事件A就是屬于B，體現(xiàn)了A200。在“概率事件的關(guān)系及運算”部分有很多公式可以借助畫集合運算圖來輔助做題，比如事件A若與事件B有包含關(guān)系B201。記牢公式性質(zhì)，同時保證足夠的習(xí)題量，考試時概率部分20%的分值基本上就不難拿到了。概率這門課如果有難點就應(yīng)該是“記憶量大”。將本章與上一章中相似對角化部分的內(nèi)容作比較會有助于理解記憶“化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型”的步驟及避免前后混淆，但因為大綱對本章要求不高，所以不必深究。所以前面的討論可以用來輔助理解，但對于做題時打開思路用處不大。所以可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。234。a249。 實對稱矩陣極其相似對角化。矩陣合同的定義是PTAP=B，其中P為可逆矩陣。特征值和特征向量之所以會得到如此青睞，大概是因為解決相關(guān)題目要用到線代中的大量，則有|A|=l1l2ln；若矩陣A有特征值l，則kA、AaA+bE、f(A)、AA*分別有特征值kl、lal+b、1|A|f(l)ll，且對應(yīng)特征向量等于l所對應(yīng)的特征向量，而若2分別為矩陣llA、B的特征值，則l12不一定為AB的特征值。n；若A逆則有r(AB)=r(A)。r(A)+r(B)；若有r(AT)=r(A)=r(ATA)；r(AB)163。 3. r(Am180。235。235。235。000249。等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數(shù)的向量；任何一個向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價。以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯(lián)系在一起的橋梁：行列式 線性相關(guān)線性方程組 以上這些是大量擴展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識點時的必經(jīng)之路——“兵家必爭之地”，怎么重視都不為過。3. 齊次線性方程組程組Am180。A的行\(zhòng)列向量=n243。n有：方陣A可逆243。b. 向量組a1,a2an線性相關(guān)243。我記得當(dāng)時上線代課時也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙，感覺這門課很難；但在考研備考時經(jīng)過這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。這一點也正好印證了一個重要定理：“若a1,a2關(guān)，則向量b可由向量組a1,a2an線性無關(guān)，而a1,a2an,b線性相an線性表示，且表示方法唯一”。n，Ax=b是否有A的列向量線性表示。lt。所以，經(jīng)過“秩—〉線性相關(guān)\無關(guān)—〉線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由r(A)=n就可以判定齊次方程組x1a1+x2a2++xnan=0只有0解。其實如果按照數(shù)學(xué)發(fā)展史的進程來編制數(shù)學(xué)教科書的話，雖然邏輯性和系統(tǒng)性會不如現(xiàn)在的分章節(jié)教材，但肯定會大大方便學(xué)習(xí)者的理解和領(lǐng)悟，因為這更接近于人思維自然進展的節(jié)奏，非常有利于學(xué)習(xí)者認識各種概念定理的來龍去脈，而“不明白自己學(xué)的到底是什么”正是很多同學(xué)對數(shù)學(xué)感到困惑的根源。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式x1a1斷向量組a1,a2an是否線性相關(guān)\無關(guān)也正是由這個等式定義出的。組的問題。向量就這樣被引入了，可能早期的數(shù)學(xué)家研究向量就是為了更好的研究解方程234。第二章矩陣中的知識點很細碎，但好在每個小知識點包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。正是因為具有這樣的特點，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會變得特別容易”的科目，所以實際上把時間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因為，在一門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時間的效果肯定要比投入等量時間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是100分、現(xiàn)在水平是80分的課提高到85分，一般要比把一門滿分100現(xiàn)在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。|A|=0243。這樣做的目的就在于——當(dāng)看到題目的條件和結(jié)論、推測出其中涉及到的知識點時立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識點隊列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。歷年考研真題中線代部分的題目都很靈活，在一道大題甚至小題中就可以考察到多個知識點，而且過渡自然、結(jié)構(gòu)巧妙；有相當(dāng)一部分題目可以找出多種解法。在做二重積分的題時常用的是更換積分次序的方法與幾個變換技巧，這一點在后面評題時會有針對性的討論。本章主要內(nèi)容可以整理成一個大表格：1415 16 高數(shù)第十章《重積分》大綱對于本章的要求只有兩句：、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。2236。——坐標(biāo)平面z=0相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實是一回事，如上圖中曲線1的投影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所236。F2(x,y,z)=0x2y2+2=1可視為是二元函數(shù)f(x,y)=0在三維坐標(biāo)系中的形式。y,z)=0表示的是一個空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個空d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián) 系。m=t（(x0,y0,z0)是平面上已知點，{l,m,n}為方向矢量）可變形為239。z=z+nt0238。直線方程的參數(shù)236。平面方程的一般式、點法式、 三點式、截距式中，點法式和截距式都可以化為一般式。162。174。，這個式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。174。數(shù)積定義式 為a174。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識點： 12 a) 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。如圖，若要求進行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時得到的級數(shù)中只有正弦級數(shù)，圖像為；若要求進行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時得到的展開式中只有余弦級數(shù)，圖像為 高數(shù)第九章《矢量代數(shù)與空間解析幾何》 。本章最后的知識點是付立葉級數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識點，但其思想并不復(fù)雜，花時間掌握還是比較劃算的。165。nn=0nax229。對于函數(shù)的冪級數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對來說更為簡單。像這樣從“形似”上掌握不費腦子，但要冒記混淆的危險，但此處恰好都是比較順的搭配：sinu、cosu習(xí)慣上說“正余弦”，先正后余；而sinu的展開式對應(yīng)的是奇數(shù)項，cosu的展開式對應(yīng)的是偶數(shù)項，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。n2n+1(2n+1)!，cosu的展開式是229。這一部分的基u165。后3個式子的u206。nun+1n+1。所以這個式子最好記，以此為出發(fā)點看式子2：1式左端是1u，2式左端是1+u；1式右端是，10 nn(1)u2式右端也僅僅是變成了交錯級數(shù)229。1式是第一部分式子的基礎(chǔ)。)n24cosu=1u+u+(1)6.u2n+=229。(1)n=0165。u12!21n!nn=0165。,+165。unn=0165。另外，“求和與展開”的簡單之處還在于：達到熟練做題程度以后會發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。通過做歷年真題，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無窮級數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識點都有一個相似之處，就是這些知識點從表面上看比較復(fù)雜、難于把握，實際上也必須通過認真思考和足量練習(xí)才能達到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)會到解決方法的精髓思想以后這些知識點又會“突然”變的十分簡單。(a+1)nn的斂散性。所以考研真題中一般只會出成選擇題“已知某級數(shù)收斂，則下列級數(shù)中收斂的是（）”。|an|n2+l|an|n2+l的斂散性。陳文燈復(fù)習(xí)指南上對相關(guān)章節(jié)的指導(dǎo)并不盡如人意，因為套題型的方法在這些復(fù)雜章節(jié)中不能展現(xiàn)其長處，故整體來說結(jié)構(gòu)比較散亂。這種方法的靈活運用必須通過自己動手做題體會才能實現(xiàn)，因為其中一些邏輯表面上并不符合常規(guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個薄面以后再用底面積乘高得到的。核心式中的 dy 是薄餅的高。2pxf(x)dx。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識點之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會其思想。162。(x0)185。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“f(162。162。(x)0也只有兩種對應(yīng)圖像： 162。(x)0可以說明函數(shù)162。(x)的變化率。 f162。162。x)=0且f162。162。2. 討論方程根的情況。對于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識點：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。 高數(shù)第七章《一元微積分的應(yīng)用》本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。=pp162。=p162。y==py的函數(shù)），則dydxdy=pp，也可化為一階形式。)叫不顯含x的二階方程，變量替換也是令y162。=p、y162。=f(x,y162。對于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。x后代入即可得解；對于貝努利方程階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方