20xx年考研數(shù)學(xué)高數(shù)題解-wenkub.com
2024-08-18 08:06 本頁(yè)面
【正文】 0??? ? ? ? ?4 1, 1,3t? ?? 證畢 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查利用定積分中值定理、泰勒定理，證明有關(guān)命題。 12tt? ? ? ?? ? ? ? ?4 1,t?? ? ? ? ? ? ?? ? 2411 39。39。 例 ( , ) ( )xyz f xy gyx??，其中 ,fg可微，則 zx??? . 十四、數(shù)學(xué)（二）第 20 題 （Ⅰ）證明積分中值定理：若函數(shù) f(x)在閉區(qū)間 [a,b]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn) ? ?ba,?? ，使得 ))(()( abfdxxfab ??? ? （Ⅱ）若函數(shù) ? （ x）具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足 ? （ 2）＞ ? （ 1）， ? （ 2）＞ dxx)(23?? 則至少存在一點(diǎn) )3,1(?? ，使得 0)( ???? 證（Ⅰ）這是書上的定理，此處略去，見(jiàn)同濟(jì) 5 版 高等數(shù)學(xué)上冊(cè) P232 （Ⅱ）已知 ? （ 2）＞ ? （ 1）， ? （ 2）＞ dxx)(23?? 由積分中值定理，？ ? ?3,2?? 使得 )()23)(()(23 ????? ???? dxx )()2( ??? ? 11 （ 1）若 )2(? 為極大值，因 )(x? 具有二階導(dǎo)數(shù)，所以 0)2( ??? 泰勒公式 2)2)((?21)2)(2()2()( ???????? xxx ????? ? 在 x與 2 之間 22 2)) ( 1(212)( 2 ) ( 1( 2 )( 1 ) ????? ????? (1,2)2?? 0)(21( 2 )( 1 ) 2 ??? ???? 故 (1,3)(1,2)2 ???? 值得 0)( 2 ???? (2)若 (2)? 不是極大 值，當(dāng) (2)?? 0 時(shí)，則 y（ 2+? ）為極大值。 類似題：《講義》 P75 第 6， 7， 10 題。 類 似 題：《講義》 p99 第 36， 37 題 例 36. 將函數(shù) ( ) 1f x x??（ 0 ≤ x ≤ 2）展開(kāi)成周期為 4 的余弦級(jí)數(shù) . 例 ：當(dāng) 0≤ x ≤ ? 時(shí)， 2221 c o s 1 ( 3 6 2 )12n nx xxn ???? ? ? ?? 九、數(shù)學(xué)（二）第 6 題，數(shù)學(xué)（三） 第 4 題 6 設(shè)函數(shù) f 連續(xù)，若 F（ u,v） = dx dyyx yxfD uv?? ?? 2222 )( 其中區(qū)域 Duv 為圖中陰影部分，則 UF22 =（） （ A） vf(u2) (B) )( 2ufuv (C) vf(u) (D) )(ufuv 答案： A 點(diǎn)評(píng)： 將直坐標(biāo)化為極坐標(biāo) F(u. v)= drrfvr d rrrfd uuv ??? ? 1 21 20 )()(? ∴ )(22 2uvfuF ? 類似題：《講義》 P39 第 127 題 ()fx為連續(xù)函數(shù)，且 (2) 8f ? ,1( ) ( )ttyF t dy f x dx? ??，則 (2)F? ? . 十、數(shù)學(xué)（一） 第 17 題 已知曲線 C??? ??? ??? 53 02 222 zyx zyx 求 C 上距離 xoy 面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)， 略解：設(shè)空間一點(diǎn) M（ x,y,z）與 xoy 面的距離為 r=|z|， r2＝ z2 目標(biāo)函數(shù) f(x,y,z） =z2 約束條件 x2+y22z2=0， x+y+3z5=0 7 作拉格朗日函數(shù) F(x,λ ,μ )=Z2+λ (x2+y22z2)+μ (x+y+3
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