20xx年考研數(shù)學(xué)高數(shù)題解(存儲(chǔ)版)
【正文】 學(xué)（三）第（ 19）題 設(shè)銀行存款的年利率為 r=，并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會(huì)希望通過(guò)存款 A 萬(wàn)元，實(shí)現(xiàn)第一年提取 19 萬(wàn)元，第二年提取 28 萬(wàn)元，?，第 n年提?。?10+9n）萬(wàn)元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問(wèn) A至少應(yīng)為多少萬(wàn)元？ 略解：現(xiàn)存入 A萬(wàn)元， r=，第 n 年末本利和為 A（ 1+r） n 設(shè) b=1+r Abn≥ (10+9)bn1+(10+2 9)bn2? +(10+9(n1))b+(10+9n)b0 A≥ 10 )321(9)111(322 nn bnbbbbbb ????????? 當(dāng) n→∞時(shí) A≥ ?? ???? ? 11 9110k kk k bkb S1＝ ??? ??1 111k k bb 9 S2＝ ? ??????1 1k kkk kxbk （合 1 1 ?? xbx )(1 1 xxfkxx k k ?? ??? ? ? ?? ?? ???? ? ???? 11 1 100)(0 k kk k xxxxdtktxdttfx ∴ 2)1( 1)( xxf ?? 222 )1()1( ???? b bxxS b= 3 9 8 0)( 10)1( 191110 22 ????????? bbA （萬(wàn)元） 答： A至少應(yīng)為 3980 萬(wàn)元 點(diǎn)評(píng)： 本小題考查考生應(yīng)用無(wú)窮級(jí)數(shù)的知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中的實(shí)際問(wèn)題，筆者認(rèn)為此題有一定的難度，又不超綱，是 08 年考研高數(shù)試題中最精彩的題目。 類 似 題： 《講義》 p86 第 57 題，第 63 題 例 S 是曲面 221z x y? ? ? （ z ≥ 0）的上側(cè)計(jì)算 : 3 3 22 2 3 ( 1 ) .SI x d y d z y d z d x z d x d y? ? ? ??? 例 ? 是錐面 22z x y??（ 0≤ z ≤ 1）的下側(cè)，則 2 3 ( 1 )x d y d z y d z d x z d x d y? ? ? ? ??? . 八、數(shù)學(xué)（一）第（ 19）題 5 將函數(shù) f(x)=1x2(0≦ x≦ ? )展開(kāi)成余弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù) ????1 2)1(nnn 的和 . 略解： an= ???0 c os)(2 xdxxf (n=0,1,2,? ) bn=0 （ 1,2,?） a0= ? ???? ??022 )31(2)1(2 dxn an= ),2,1()1(4s i n)1(2c o s)1(2210 0 22 ??????? ?? ? nnnxdxnx d xn n? ??? f(x)= ? ??????????1n 1n 21n2nn0 c o s n xn( 1 )431s i n n x )bc o s n x(a2a ? 由于 f(x)=1x2在（ ??,? ）內(nèi)連續(xù)。 2020 年考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)部分，在考查基本概念，基本方法和基本原理為主，例如數(shù)學(xué)（一）第（ 4）題，數(shù)學(xué)（二）第（ 5）題，考查單調(diào)有界數(shù)列收斂準(zhǔn)則，數(shù)學(xué)（一）第（ 9）題，考查最簡(jiǎn)單的可分離變量的一階微分方程，可以說(shuō)是送分題。 通過(guò)上述統(tǒng)計(jì)可知 2020 年考研 數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)在全卷中的比例符合考試大綱規(guī)定的比例。 類 似 題：《講義》 p16 第 32 題 ()y f x? 由方程 42lnxy x y??所確定，則曲線 ()y f x? 在點(diǎn) (1,1) 處的切線方程為 . 七、數(shù)學(xué) (一 )第（ 1
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