【正文】 這三個公式的含義從直觀上就能理解：公式（1）表示事件概率等于A、B同時發(fā)生的A發(fā)生的概率減去A發(fā)生而B不發(fā)生的概率；（2）式表示事件A、B同時發(fā)生的概率等于A發(fā)生的A發(fā)生的條件下B也發(fā)生的概率；當(dāng)A、B相互獨(dú)立時，也就是指事件A與事件B的發(fā)生互不影此時應(yīng)該有概率乘以在響，P(B|A)=P(B)、P(A|B)=P(A)所以P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P。P(AB)=P(A)P(B)(A,B相互獨(dú)立)(3)238。公式組237。 236。區(qū)別互斥、互逆、對立與不相容：事件與事件B對立就是A與事件B互斥也叫A與B不相容，即A199。B200。B200。對于其它的概率運(yùn)算公式也可用圖輔助理解，有的題甚至可以直接通過作圖來得到答案。B “事件A與B至少有一個發(fā)生”A與B的差A(yù)199。B可作圖，則A200。A，則可作圖長方形內(nèi)的點都屬于B的范圍，圓形則代表A的范圍。填空、選擇?？缄P(guān)于事件概率運(yùn)算的題目，大多圍繞形如P(AB)=P(AB)、P(B|A)=P(B|A)、P(A+B+C)這樣的式子利用各種概率運(yùn)算公式求解；其它內(nèi)容如全概率公式和貝葉斯公式在小題中和大題中都有可能考到。 概率第一章《隨機(jī)事件和概率》本章內(nèi)容在歷年真題中都有涉及，難度一般不大。所以對于概率部分相當(dāng)多的內(nèi)容都只能先死記硬背，然后通過足量做題再來牢固掌握，走一條“在記憶的基礎(chǔ)上理解”的路。在高數(shù)部分，公式、定理和性質(zhì)雖然有很多，但其中相當(dāng)大一部分都比較簡單，還有很多可以借助理解來記憶；在線代部分，需要記憶的公式定理少，而需要通過推導(dǎo)相互聯(lián)系來理解記憶的多，所以記憶量也不構(gòu)成難點；但是在概率中，由大量的概念、公式、性質(zhì)和定理需要記清楚，而且若靠推導(dǎo)來記這些點的話，不但難度大耗時多而且沒有更多的用處（因為概率部分考試時對公式定理的內(nèi)在推導(dǎo)過程及聯(lián)系并沒有什么要求，一般不會在更深的層次上出題）。一般的數(shù)學(xué)考研參考書是按高數(shù)、線代、概率的順序安排的，概率被放在最后，復(fù)習(xí)完高數(shù)和線代以后有可能時間所剩無多；而且因為前兩部分分別占60%和20的分值，復(fù)習(xí)完以后多少會有點滿足心理；這些因素都可能影響到概率的復(fù)習(xí)。 24 2 概率部分 概率這門課的特點與線性代數(shù)一樣，概率也比高數(shù)容易，花同樣的時間復(fù)習(xí)概率也更為劃算。本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的核心知識為“對于實對稱矩陣似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在A存在正交矩陣P使得A可以相A為實對稱矩陣時的應(yīng)用。 線代第六章《二次型》本章內(nèi)容較少，大綱要求包括掌握二次型及其矩陣表示和掌握用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法，對于其它知識點僅要求了解。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題目的題眼就是小結(jié)中的某一句話。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且P1AP=L中的P、L也分別是由A的特征向量和特征值決定的。而矩陣相似對角化的定義式正是P1AP=L。235。就等于234。的冪Lk233。235。234。b234。233。代如上式即得ck得P1n階實對稱矩陣A必可正交、相似于對角陣L，即有正交陣P使AP=PTAP=L而且正交陣P由A對應(yīng)的幾個正交的特征向量組成。包括兩個充要條件和兩個充分條件，充要條件1是線性無關(guān)的特征向量；充要條件2是條件1是4. A與B合同或相似則A與B必等價，反之n階矩陣A有n個A的任意k重特征根對應(yīng)有k個線性無關(guān)的特征向量；充分A有n個互不相同的特征值；充分條件2是A為實對稱矩陣。由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關(guān)系：若不成立；合同與等價之間沒有必然聯(lián)系。B）的定義式，即有B=P1AP，此時滿足r(A)=r(B)、|A|=|B|、|lEA|=|lEB|，并且A、B有相同的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。 線代第五章《特征值和特征向量》相對于前兩章來說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點，但卻是一個考試重點，歷年考研真題都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。非齊次線性方程組是可逆矩陣則有r(AB)=r(B)；同樣若B可Ax=b有唯一解則對應(yīng)齊次方程組Ax=0僅有零解，若Ax=b有無窮多解則Ax=0有非零解；若Ax=b有兩個不同的解則Ax=0有非零解；若A是m180。s滿足AB=0，則r(A)+r(B)163。min{Am180。r(A)=n1；r(A),r(B)}；r(A+B)163。n)163。關(guān)于秩的一些結(jié)論：對應(yīng)的特征向量。1234。0234。0這樣的單位向量組；不同特征值234。、234。、234。常見的線性無關(guān)組：齊次方程組的一個基礎(chǔ)解系；234。234。234。234。233。233。22 2. 233。r(b1,b2bn)。另外，線性代數(shù)部分在考試時會經(jīng)常直接考一些”雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識面，說不定在考試時就會有意外收獲：1. 一個線性無關(guān)的向量組不可能由一個所含向量個數(shù)比它少的向量組線性表示。Ax=0僅有零解，Ax=b有Ax=0是否有非零解對應(yīng)于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方Ax=b是否有解對應(yīng)于b是否可以由A的列向量組線性表出。n則有：r(A)=n243。r(A)對于一般矩陣唯一解。Ax=b可由克萊姆法則判斷有唯一解，而Ax=0僅有零解。0243。存在方陣B使得AB=BA=E243。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：Ax=bb. 向量形式：x1a1兩條性質(zhì)：+x2a2++xnan=b An180。向量組中至少存在一個向量可由其余n1個向量線性表出；線性無關(guān)243。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識點中也很少見，希望你能重視：三個雙重定義：1. 秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數(shù)：向量組的極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)21 \無關(guān)的定義：a. 對于一組向量a1,a2an，若存在不全為零的數(shù)k1,k2kn使得k1a1+k2a2++knan=0成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)ki全為0時才成立。每們科目都有其自身的特點，出題老師和我們考生都可以加以利用——出題專家們利用線性代數(shù)“知識點間聯(lián)系復(fù)雜”的特點可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識點之間的聯(lián)系來進(jìn)行歸納、對比和總結(jié)，從而深化對知識點的掌握程度。線代部分的題目難就難在考點的跨度大，出題老師可以借助各知識點之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識點，那怕對這些孤立的點掌握的再透徹，在作題時也會被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識點，更是為了有效應(yīng)對考試題。當(dāng)非齊次線性方程組Ax=b與對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0滿足r(A)=r(A)=n時，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。線性表示的定義為：對于向量組a1,a2an若存在一組數(shù)k1,k2kn使等式k1a1+k2a2++knan=b成立，則稱向量b可由向量組a1,a2an線性表示。m163。n；因為矩陣的秩等于行秩也等于列秩，所以必有r(A)根據(jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。若方程組Ax=0的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個數(shù)小于未知量個數(shù)時有mamp。當(dāng)r(A)n時，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時有非零解，且有nr個線性無關(guān)的解向量。秩的定義是“極大線性無關(guān)組中的向量個數(shù)”，向量組a1,a2陣an組成的矩A有r(A)=n說明向量組的極大線性無關(guān)組中有n個向量，即a1,a2an線性無關(guān)，也即等式k1a1+k2a2++knan=0只有0解。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。（這些聯(lián)系肯定不是簡單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說不定線性相關(guān)\無關(guān)的概念正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問題的過程中發(fā)現(xiàn)的。線性相關(guān)的定義為：設(shè)a1,a2ankn使得等式k1a1+k2a2++knan=0成立，則為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)k1,k2稱向量組a1,a2an線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)k1=k2==kn=0時成立，則稱向量組a1,a2an線性無關(guān)。+x2a2++xnan=0中的xi只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：；。先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系。ani 19 向量與線性方程組兩章的i=1,2n。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識點包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、AT，A*，A1的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。對于抽象行列T*1AAA式的求值，考點不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，在下面對第二章的討論中會有小結(jié)。 線代第一章《行列式》、第二章《矩陣》第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。以上簡單分析了一下線代這門課本身的特點，在下面的小結(jié)中列出了對每章中一些具體知識點內(nèi)在聯(lián)系的分析和實戰(zhàn)過程中發(fā)現(xiàn)的一些常用的和好用的性質(zhì)，作為對具體知識點的討論。A的列向量組線性無關(guān)243。再如一個貌似考察向量組線性無關(guān)的題目，做起來以后才發(fā)現(xiàn)實際考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆243。這樣的復(fù)習(xí)策略雖然也能夠用于高數(shù)和概率，但在線代復(fù)習(xí)中的作用體現(xiàn)的最為明顯。“融會”可以理解為設(shè)法找到不同知識點之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識點之間的順承關(guān)系。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識點間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。 17 線代這門課的特點線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點之一是知識點比較細(xì)碎。關(guān)于二重積分的性質(zhì)，可以結(jié)合二重積分的幾何意義和定積分的對應(yīng)性質(zhì)來理解，因為理解幾何意義有利于解應(yīng)用性問題，而且定積分和二重積分的性質(zhì)定理幾乎是一一對應(yīng)的，對比起來很直觀。（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)